yy=a+b x+g x x и yy=a -b x x.

За этим следуют совершенно новые и оригинальные вещи. Именно, исходя из последнего уравнения (чертит он здесь лишь эллипсы), Эйлер посредством вычислений определяет другую пару сопряженных диаметров, для одного из которых дан угол с осью абсцисс. Эйлер вычисляет тангенс угла второго диаметра с осью абсцисс, тангенс угла между обоими новыми сопряженными диаметрами и, наконец, длины последних. В этих нелегких выкладках Эйлер применяет для обозначения функций известных углов, как специальные буквы, так и их современные символы. В качестве следствий здесь получаются теоремы о постоянстве параллелограммов и сумм квадратов, построенных на сопряженных диаметрах, а также теорема о произведении отрезков касательных, лежащих между двумя фиксированными параллельными касательными.

Теперь Эйлеру нужно лишь выставить требование взаимной перпендикулярности новой пары диаметров, чтобы получить тем самым положение и длины главных осей. При этом он подчеркивает, что решение здесь существует всегда. В присоединенном к этому тому «Приложении о поверхностях» Эйлер действительно преобразовал уравнение

аасс = auu+ 2b tu+g t t

в прямоугольной системе координат к главным осям. Аналитическая геометрия конических сечений впервые была поставлена на собственные ноги.

В конце рассматриваемой главы определяются действительные фокусы. Эйлер определяет их, отыскивая на большой оси точки, для которых радиусы-векторы точек кривых могут быть рационально выражены через их координаты.

Следующая, шестая глава трактовала о классификации линий второго порядка. Эйлер различает здесь кривые только в зависимости от значения коэффициента g в уравнении

уу = a + b х + g х х.

Затем он берет для эллипса уравнение относительно центра

и, в частности, выводит из него фокальные свойства эллипса и его касательной. Далее, он вводит новые величины

(полупараметр) и d=a — Ö(aa-bb)

(расстояние фокуса от вершины). Тогда уравнение эллипса относительно вершины принимает вид

Теперь Эйлер переходит от эллипса к параболе, полагая 2d = c, благодаря чему а и b становятся бесконечно большими. Насколько возможно, свойства параболы он выводит, исходя из понимания ее как бесконечно растянутого эллипса. Вслед за тем он переходит к уравнению гиперболы

у у = a + g x x

и устанавливает, что сопряженная ось в этом случае мнимая. Однако, чтобы сохранить сходство с уравнением эллипса, он полагает мнимую ось равной , в результате чего уравнение гиперболы приобретает вид

О свойствах гиперболы он умозаключает, представляя себе, что в соответствующих случаях для эллипса bb заменено через -bb. Установив для угла, образуемого касательной с большой осью, скажем, угла w, общее уравнение

tang w=

Эйлер находит асимптоты, полагая х=¥ (т.е. ), что дает для тангенса угла асимптоты с осью значение . При выводе различных свойств асимптот он определенно отмечает, что они сохраняют силу, когда, например, секущая прямая пересекает не одну ветвь гиперболы, а обе. Само собою, разумеется, Эйлеру было известно также определение асимптот с помощью разложения на множители совокупности старших членов уравнения кривой. Однако этот прием он применил лишь в последующих главах, вообще посвященных бесконечным ветвям высших кривых. В главе VII Эйлер делает замечание, что если bb больше, чем 4ag, то общее уравнение

a y y+b x y+g x x +d y +e x +z=0

представляет собой гиперболу. Вообще же у Эйлера отсутствовали еще общие критерии классификации кривых по их коэффициентам. [11]

Просвещение Шотландии.
История общественной мысли в Шотландии XVIII в. — это история мучительных поисков выхода из унизительного положения, в котором, по убеждению многих просвещённых шотландцев, оказалась их родина. Философ Эндрю Флетчер, «отец» шотландского Просвещения, дал толчок формированию новой гражданской этики, обосновывавшей иные, альтернативные вой ...

Курсом XX–XXII съездов
XX съезд партии (1956 год) открыл новый этап в истории Башкирской АССР, как и всей Советской страны. Устранялись ошибки в деятельности партийных и советских органов, возрождался ленинский принцип коллективного руководства и т.д. В июне 1957 года трудящиеся республики торжественно отмечали 400-летие добровольного присоединения Башкирии ...

Пакт о ненападении
В условиях, когда военная угроза подступала к Советскому государству и с запада, и с востока, когда намечалась возможность координированных действий агрессоров на обоих направлениях при поддержке западных держав, внешняя политика СССР продолжала оставаться твердой и спокойной, не впадающей в панику и не поддающейся на провокации. Когда ...