yy=a+b x+g x x и yy=a -b x x.

За этим следуют совершенно новые и оригинальные вещи. Именно, исходя из последнего уравнения (чертит он здесь лишь эллипсы), Эйлер посредством вычислений определяет другую пару сопряженных диаметров, для одного из которых дан угол с осью абсцисс. Эйлер вычисляет тангенс угла второго диаметра с осью абсцисс, тангенс угла между обоими новыми сопряженными диаметрами и, наконец, длины последних. В этих нелегких выкладках Эйлер применяет для обозначения функций известных углов, как специальные буквы, так и их современные символы. В качестве следствий здесь получаются теоремы о постоянстве параллелограммов и сумм квадратов, построенных на сопряженных диаметрах, а также теорема о произведении отрезков касательных, лежащих между двумя фиксированными параллельными касательными.

Теперь Эйлеру нужно лишь выставить требование взаимной перпендикулярности новой пары диаметров, чтобы получить тем самым положение и длины главных осей. При этом он подчеркивает, что решение здесь существует всегда. В присоединенном к этому тому «Приложении о поверхностях» Эйлер действительно преобразовал уравнение

аасс = auu+ 2b tu+g t t

в прямоугольной системе координат к главным осям. Аналитическая геометрия конических сечений впервые была поставлена на собственные ноги.

В конце рассматриваемой главы определяются действительные фокусы. Эйлер определяет их, отыскивая на большой оси точки, для которых радиусы-векторы точек кривых могут быть рационально выражены через их координаты.

Следующая, шестая глава трактовала о классификации линий второго порядка. Эйлер различает здесь кривые только в зависимости от значения коэффициента g в уравнении

уу = a + b х + g х х.

Затем он берет для эллипса уравнение относительно центра

и, в частности, выводит из него фокальные свойства эллипса и его касательной. Далее, он вводит новые величины

(полупараметр) и d=a — Ö(aa-bb)

(расстояние фокуса от вершины). Тогда уравнение эллипса относительно вершины принимает вид

Теперь Эйлер переходит от эллипса к параболе, полагая 2d = c, благодаря чему а и b становятся бесконечно большими. Насколько возможно, свойства параболы он выводит, исходя из понимания ее как бесконечно растянутого эллипса. Вслед за тем он переходит к уравнению гиперболы

у у = a + g x x

и устанавливает, что сопряженная ось в этом случае мнимая. Однако, чтобы сохранить сходство с уравнением эллипса, он полагает мнимую ось равной , в результате чего уравнение гиперболы приобретает вид

О свойствах гиперболы он умозаключает, представляя себе, что в соответствующих случаях для эллипса bb заменено через -bb. Установив для угла, образуемого касательной с большой осью, скажем, угла w, общее уравнение

tang w=

Эйлер находит асимптоты, полагая х=¥ (т.е. ), что дает для тангенса угла асимптоты с осью значение . При выводе различных свойств асимптот он определенно отмечает, что они сохраняют силу, когда, например, секущая прямая пересекает не одну ветвь гиперболы, а обе. Само собою, разумеется, Эйлеру было известно также определение асимптот с помощью разложения на множители совокупности старших членов уравнения кривой. Однако этот прием он применил лишь в последующих главах, вообще посвященных бесконечным ветвям высших кривых. В главе VII Эйлер делает замечание, что если bb больше, чем 4ag, то общее уравнение

a y y+b x y+g x x +d y +e x +z=0

представляет собой гиперболу. Вообще же у Эйлера отсутствовали еще общие критерии классификации кривых по их коэффициентам. [11]

Юрий Хмельницкий
Пытаясь избежать гражданской войны, смягчить социальное напряжение, предотвратить территориальный раскол, старшина опять провозглашает гетманом Ю. Хмельницкого. Расчет был на то, что "волшебное имя Хмельницкого" станет той силой, которая обеспечит единство элиты, консолидацию общества и стабильность государства. Понятно, что ю ...

Подготовка сражения
Весной 1242 года из Дерпта (Юрьев) была выслана разведка ливонского ордена с целью прощупать силу русских войск. Примерно в 18 километрах южнее Дерпта орденскому разведывательному отряду удалось разбить русский "разгон" под началом Домаша Твердиславича и Керебета. Это был разведотряд, двигавшийся впереди войска Александра Ярос ...

Жизнь первого президента после войны
Обосновавшись в Маунт-Верноне, Вашингтон оставался в фокусе общественно-политического внимания. Сторонник усиления центральной власти, он был избран президентом Конституционного конвента, выработавшего в 1787 Конституцию США. Популярность и непререкаемый авторитет Вашингтона обусловили его избрание на пост президента страны, который он ...