yy=a+b x+g x x и yy=a -b x x.

За этим следуют совершенно новые и оригинальные вещи. Именно, исходя из последнего уравнения (чертит он здесь лишь эллипсы), Эйлер посредством вычислений определяет другую пару сопряженных диаметров, для одного из которых дан угол с осью абсцисс. Эйлер вычисляет тангенс угла второго диаметра с осью абсцисс, тангенс угла между обоими новыми сопряженными диаметрами и, наконец, длины последних. В этих нелегких выкладках Эйлер применяет для обозначения функций известных углов, как специальные буквы, так и их современные символы. В качестве следствий здесь получаются теоремы о постоянстве параллелограммов и сумм квадратов, построенных на сопряженных диаметрах, а также теорема о произведении отрезков касательных, лежащих между двумя фиксированными параллельными касательными.

Теперь Эйлеру нужно лишь выставить требование взаимной перпендикулярности новой пары диаметров, чтобы получить тем самым положение и длины главных осей. При этом он подчеркивает, что решение здесь существует всегда. В присоединенном к этому тому «Приложении о поверхностях» Эйлер действительно преобразовал уравнение

аасс = auu+ 2b tu+g t t

в прямоугольной системе координат к главным осям. Аналитическая геометрия конических сечений впервые была поставлена на собственные ноги.

В конце рассматриваемой главы определяются действительные фокусы. Эйлер определяет их, отыскивая на большой оси точки, для которых радиусы-векторы точек кривых могут быть рационально выражены через их координаты.

Следующая, шестая глава трактовала о классификации линий второго порядка. Эйлер различает здесь кривые только в зависимости от значения коэффициента g в уравнении

уу = a + b х + g х х.

Затем он берет для эллипса уравнение относительно центра

и, в частности, выводит из него фокальные свойства эллипса и его касательной. Далее, он вводит новые величины

(полупараметр) и d=a — Ö(aa-bb)

(расстояние фокуса от вершины). Тогда уравнение эллипса относительно вершины принимает вид

Теперь Эйлер переходит от эллипса к параболе, полагая 2d = c, благодаря чему а и b становятся бесконечно большими. Насколько возможно, свойства параболы он выводит, исходя из понимания ее как бесконечно растянутого эллипса. Вслед за тем он переходит к уравнению гиперболы

у у = a + g x x

и устанавливает, что сопряженная ось в этом случае мнимая. Однако, чтобы сохранить сходство с уравнением эллипса, он полагает мнимую ось равной , в результате чего уравнение гиперболы приобретает вид

О свойствах гиперболы он умозаключает, представляя себе, что в соответствующих случаях для эллипса bb заменено через -bb. Установив для угла, образуемого касательной с большой осью, скажем, угла w, общее уравнение

tang w=

Эйлер находит асимптоты, полагая х=¥ (т.е. ), что дает для тангенса угла асимптоты с осью значение . При выводе различных свойств асимптот он определенно отмечает, что они сохраняют силу, когда, например, секущая прямая пересекает не одну ветвь гиперболы, а обе. Само собою, разумеется, Эйлеру было известно также определение асимптот с помощью разложения на множители совокупности старших членов уравнения кривой. Однако этот прием он применил лишь в последующих главах, вообще посвященных бесконечным ветвям высших кривых. В главе VII Эйлер делает замечание, что если bb больше, чем 4ag, то общее уравнение

a y y+b x y+g x x +d y +e x +z=0

представляет собой гиперболу. Вообще же у Эйлера отсутствовали еще общие критерии классификации кривых по их коэффициентам. [11]

Внешняя политика России в конце XIXв-1905г.
1899г - Гаагская конференция по проблемам разоружения 1904-1905гг - русско-японская война август 1905г - Портсмутский мирный договор В конце XIX-начале XXвв началась борьба за экономический раздел всего мира. В Европе Россия старалась не допустить военно-политической гегемонии Германии, остановить экспансию Австро-Венгрии на Балканах ...

Роль Меншикова во внутренних преобразованиях Петра Великого. Потеря власти и ссылка
Биография Меншикова так близко соприкасается и даже переплетается с биографией Петра Великого, что нельзя не остановится, на эпизоде его возвращения в Россию. Более полно его таланты раскрылись в административной деятельности. Началась работа в качестве губернатора столичной губернии, сенатора, резидента Военной коллегии. Разумеется, Ка ...

Норманская теория
И все-таки еще к середине IX в. земли по Днепру оставались тихой заводью — как в культурно-экономическом, так и в политическом отношении. Не удивительно ли, что всего каких-то 150 лет спустя здесь уже билось могучее сердце Киевской Руси? Киевская Русь — это не просто сильный политический союз родственных племен. Это — одна из самых инте ...