Развитие аналитической
геометрии, начиная с систематического исследования высших порядковСтраница 2
yy=a+b x+g x x и yy=a -b x x.
За этим следуют совершенно новые и оригинальные вещи. Именно, исходя из последнего уравнения (чертит он здесь лишь эллипсы), Эйлер посредством вычислений определяет другую пару сопряженных диаметров, для одного из которых дан угол с осью абсцисс. Эйлер вычисляет тангенс угла второго диаметра с осью абсцисс, тангенс угла между обоими новыми сопряженными диаметрами и, наконец, длины последних. В этих нелегких выкладках Эйлер применяет для обозначения функций известных углов, как специальные буквы, так и их современные символы. В качестве следствий здесь получаются теоремы о постоянстве параллелограммов и сумм квадратов, построенных на сопряженных диаметрах, а также теорема о произведении отрезков касательных, лежащих между двумя фиксированными параллельными касательными.
Теперь Эйлеру нужно лишь выставить требование взаимной перпендикулярности новой пары диаметров, чтобы получить тем самым положение и длины главных осей. При этом он подчеркивает, что решение здесь существует всегда. В присоединенном к этому тому «Приложении о поверхностях» Эйлер действительно преобразовал уравнение
аасс = auu+ 2b tu+g t t
в прямоугольной системе координат к главным осям. Аналитическая геометрия конических сечений впервые была поставлена на собственные ноги.
В конце рассматриваемой главы определяются действительные фокусы. Эйлер определяет их, отыскивая на большой оси точки, для которых радиусы-векторы точек кривых могут быть рационально выражены через их координаты.
Следующая, шестая глава трактовала о классификации линий второго порядка. Эйлер различает здесь кривые только в зависимости от значения коэффициента g в уравнении
уу = a + b х + g х х.
Затем он берет для эллипса уравнение относительно центра
и, в частности, выводит из него фокальные свойства эллипса и его касательной. Далее, он вводит новые величины
(полупараметр) и d=a — Ö(aa-bb)
(расстояние фокуса от вершины). Тогда уравнение эллипса относительно вершины принимает вид
Теперь Эйлер переходит от эллипса к параболе, полагая 2d = c, благодаря чему а и b становятся бесконечно большими. Насколько возможно, свойства параболы он выводит, исходя из понимания ее как бесконечно растянутого эллипса. Вслед за тем он переходит к уравнению гиперболы
у у = a + g x x
и устанавливает, что сопряженная ось в этом случае мнимая. Однако, чтобы сохранить сходство с уравнением эллипса, он полагает мнимую ось равной , в результате чего уравнение гиперболы приобретает вид
О свойствах гиперболы он умозаключает, представляя себе, что в соответствующих случаях для эллипса bb заменено через -bb. Установив для угла, образуемого касательной с большой осью, скажем, угла w, общее уравнение
tang w=
Эйлер находит асимптоты, полагая х=¥ (т.е. ), что дает для тангенса угла асимптоты с осью значение
. При выводе различных свойств асимптот он определенно отмечает, что они сохраняют силу, когда, например, секущая прямая пересекает не одну ветвь гиперболы, а обе. Само собою, разумеется, Эйлеру было известно также определение асимптот с помощью разложения на множители совокупности старших членов уравнения кривой. Однако этот прием он применил лишь в последующих главах, вообще посвященных бесконечным ветвям высших кривых. В главе VII Эйлер делает замечание, что если bb больше, чем 4ag, то общее уравнение
a y y+b x y+g x x +d y +e x +z=0
представляет собой гиперболу. Вообще же у Эйлера отсутствовали еще общие критерии классификации кривых по их коэффициентам. [11]
Великая Отечественная война 1941-1945гг.
22 июня 1941г началось наступление Германии на СССР. Основной удар пришелся на северо-западные, западные и юго-западные районы страны. 23 июня для стратегического руководства вооруженными силами была создана Ставка Главного командования во главе с наркомом обороны С.К.Тимошенко (впоследствии Ставка Верховного Главнокомандования во главе ...
Раскол в деревне
Сразу же после конференции руководство КПК попыталось провести в жизнь новую аграрную программу, однако попытка ее реализации довольно быстро выявила неадекватность этой программы действительным экономическим, социальным и политическим условиям освобожденных районов.
Конечно, в условиях жестко централизованной партийной системы, сложив ...
Повышение материального благосостояния трудящихся
На основе роста промышленного производства, а также сельского хозяйства за первое послевоенное десятилетие (1945–1955 гг.) значительно поднялось благосостояние трудящихся. В 1950 году национальный доход страны, по сравнению с 1945 годом, был больше на 64 процента. Сразу же по окончании войны началось осуществление мер по улучшению услов ...