Поверхности второго и высших порядков
Страница 1

«Поверхности» как таковые, кроме плоскости и шара, древние математики почти не рассматривали. Правда, Архимед присоединил к известным тогда обыкновенным коническим и цилиндрическим поверхностям еще «сфероиды» и «коноиды», но он смотрел на них как на «тела», имея целью определение их объемов.

Уравнение поверхности в пространственных координатах вывел впервые Лагир.

В трактате о кратчайших линиях на поверхностях [Comm. Ac. Petr., 1728 (1732)] Эйлер рассмотрел три частных рода поверхностей, а именно, цилиндрические и конические поверхности и поверхности вращения. Он привел для этих поверхностей, отчасти лишь словесно, уравнения, которые мы можем записать в виде

z=j(y), z=j(x2+ y2)

Вскоре затем Герман в одной статье в Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1738) частью аналитически, частью геометрически исследовал несколько поверхностей, данных своими уравнениями. Прежде всего, он рассмотрел плоскость

azx+by+cx-e2=0,

затем «параболически-цилиндрический клин»

z2 – ax - by=0

конус

z2 – xy=0

«коноиды»

z2 – ax - by=0

и

a z2 + b y z+ c y2 – e x z + f x2+ g z – h x = 0

и, далее, «круглые тела» с общим уравнением

u2 – x2 – y2 =0

где

u2=a2 - и u2=с2 -

(в последнем случае при а=b получается шар). В заключение Герман рассмотрел тело, уравнение которого привел в виде (b-z)=bx. Это уравнение аналитически, хотя и не применяя настоящих пространственных координат, исследовал в приложении к «Алгебре» (1685) еще Валлис, назвавший его Cono-Cuneus («конусо-клин»). Уже приведенные названия фигур свидетельствуют о том, что Герман видел в них в основном еще тела, чему содействовало также ограничение лишь положительными значениями z, а по большей части и положительными х, у. Для параболического конуса Герман определил касательную плоскость, не приводя ее уравнения, для коноидов — их высшие точки, для конусов (в том числе для тех, которые оказываются частными случаями коноидов) — круговые сечения и для «конусо-клина», рассматриваемого лишь в первом октанте, — различные сечения, характеризующие форму этих тел.

Эйлер присоединил ко второму тому своего «Введения в анализ» (1748) довольно обширное «Приложение о поверхностях». Прежде всего, он заявил, что о поверхности можно судить по расстояниям ее точек от произвольно выбранной плоскости. В этой плоскости он затем взял «ось» с «начальной точкой абсцисс» и ввел, таким образом, прямоугольную систему координат. Эйлер определенно указал, что х, у, z следует придавать всевозможные положительные и отрицательные значения, отметил возможность взаимной перемены трех координат и образуемых их осями плоскостей, весьма подробно разобрал вопрос о симметрии координат в восьми октантах. Тем не менее, на чертежах во внимание всегда принимался лишь первый октант, форма поверхностей вообще не анализировалась и понимание пространственных фигур как тел еще не было преодолено. Далее, Эйлер показал, что уравнение с двумя координатами представляет цилиндрическую или призматическую поверхность, а однородное уравнение выражает конус (или пирамиду). После этого он привел весьма общий класс поверхностей, включающий конусы, цилиндры и поверхности вращения (однородное уравнение относительно Z, х, у, где Z есть функция z), затем другой класс поверхностей, сечения которых (именно в первом октанте), перпендикулярные к оси, представляют собой треугольники (сюда попадает, между прочим, «конусо-клин» Валлиса), потом класс поверхностей, параллельные сечения которых аффинные между собой, и еще два вида линейчатых поверхностей, — все это без примеров. Затем Эйлер показал, как можно вообще представить сечение поверхности произвольной плоскостью в самой этой плоскости уравнением с двумя координатами t, v; он применил это потом к точному исследованию сечений цилиндра, конуса и шара, причем за основу взял прямые эллиптические цилиндр и конус, включающие рассматривавшиеся раньше косые круговые конус и цилиндр.

Страницы: 1 2


Внешняя политика СССР в годы перестройки
На рубеже 1987–1988 гг.возникает новая внешнеполитическая доктрина, получившая название «новое политическое мышление». Основными принципами нового внешнеполитического курса были: 1) отказ от фундаментального вывода о расколе мира на две противоположные общественно-политические системы; 2) признание этого курса единым и неделимым; 3) ...

Ярослав Мудрый и Ингигерда.
О браке Ярослава Мудрого и Ингигерд, дочери шведского конунга Олава Эйрикссона (правившего с 995 по 1022 год) и, вероятно, вендки Астрид, говорится в значительном числе древнескандинавских источников конца XII – первой трети XIII века: в «Истории о древних норвежских королях» монаха, в «Обзоре саг о норвежских конунгах», в «Легендарной ...

Русь конца IX-начала Xвв.
1015-1019гг - правление Святополка I Окаяного 1019-1054гг - правление Ярослава Мудрого 1054г - разделение христианской церкви на православную и католическую 1054-1078гг - правление Изяслава I 1078-1093гг - правление Всеволода I 1093-1113гг - правление Святополка II 1097г - съезд князей в Любече 1113-1125гг - правление Владимира М ...