«Поверхности» как таковые, кроме плоскости и шара, древние математики почти не рассматривали. Правда, Архимед присоединил к известным тогда обыкновенным коническим и цилиндрическим поверхностям еще «сфероиды» и «коноиды», но он смотрел на них как на «тела», имея целью определение их объемов.

Уравнение поверхности в пространственных координатах вывел впервые Лагир.

В трактате о кратчайших линиях на поверхностях [Comm. Ac. Petr., 1728 (1732)] Эйлер рассмотрел три частных рода поверхностей, а именно, цилиндрические и конические поверхности и поверхности вращения. Он привел для этих поверхностей, отчасти лишь словесно, уравнения, которые мы можем записать в виде

z=j(y), z=j(x2+ y2)

Вскоре затем Герман в одной статье в Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1738) частью аналитически, частью геометрически исследовал несколько поверхностей, данных своими уравнениями. Прежде всего, он рассмотрел плоскость

azx+by+cx-e2=0,

затем «параболически-цилиндрический клин»

z2 – ax - by=0

конус

z2 – xy=0

«коноиды»

z2 – ax - by=0

и

a z2 + b y z+ c y2 – e x z + f x2+ g z – h x = 0

и, далее, «круглые тела» с общим уравнением

u2 – x2 – y2 =0

где

u2=a2 - и u2=с2 -

(в последнем случае при а=b получается шар). В заключение Герман рассмотрел тело, уравнение которого привел в виде (b-z)=bx. Это уравнение аналитически, хотя и не применяя настоящих пространственных координат, исследовал в приложении к «Алгебре» (1685) еще Валлис, назвавший его Cono-Cuneus («конусо-клин»). Уже приведенные названия фигур свидетельствуют о том, что Герман видел в них в основном еще тела, чему содействовало также ограничение лишь положительными значениями z, а по большей части и положительными х, у. Для параболического конуса Герман определил касательную плоскость, не приводя ее уравнения, для коноидов — их высшие точки, для конусов (в том числе для тех, которые оказываются частными случаями коноидов) — круговые сечения и для «конусо-клина», рассматриваемого лишь в первом октанте, — различные сечения, характеризующие форму этих тел.

Эйлер присоединил ко второму тому своего «Введения в анализ» (1748) довольно обширное «Приложение о поверхностях». Прежде всего, он заявил, что о поверхности можно судить по расстояниям ее точек от произвольно выбранной плоскости. В этой плоскости он затем взял «ось» с «начальной точкой абсцисс» и ввел, таким образом, прямоугольную систему координат. Эйлер определенно указал, что х, у, z следует придавать всевозможные положительные и отрицательные значения, отметил возможность взаимной перемены трех координат и образуемых их осями плоскостей, весьма подробно разобрал вопрос о симметрии координат в восьми октантах. Тем не менее, на чертежах во внимание всегда принимался лишь первый октант, форма поверхностей вообще не анализировалась и понимание пространственных фигур как тел еще не было преодолено. Далее, Эйлер показал, что уравнение с двумя координатами представляет цилиндрическую или призматическую поверхность, а однородное уравнение выражает конус (или пирамиду). После этого он привел весьма общий класс поверхностей, включающий конусы, цилиндры и поверхности вращения (однородное уравнение относительно Z, х, у, где Z есть функция z), затем другой класс поверхностей, сечения которых (именно в первом октанте), перпендикулярные к оси, представляют собой треугольники (сюда попадает, между прочим, «конусо-клин» Валлиса), потом класс поверхностей, параллельные сечения которых аффинные между собой, и еще два вида линейчатых поверхностей, — все это без примеров. Затем Эйлер показал, как можно вообще представить сечение поверхности произвольной плоскостью в самой этой плоскости уравнением с двумя координатами t, v; он применил это потом к точному исследованию сечений цилиндра, конуса и шара, причем за основу взял прямые эллиптические цилиндр и конус, включающие рассматривавшиеся раньше косые круговые конус и цилиндр.

Япония в период раздробленности и гражданских войн
Япония начала Нового времени унаследовала от позднес-редневекового сёгуната Асикага (1467-1568) период раздроб ленности и гражданских войн, получивший название «эпохи воюющих провинций». Он ознаменовался борьбой вассалов сегуна против него и между собой. Сегуны из дома Асикага утратили контроль над столицей Киото, где образовалось сильн ...

Повседневный быт и нравы средневековой Руси
Изучение повседневной жизни наших предков видится логичным организовать в соответствии с основными вехами жизненного цикла человека. Цикл человеческой жизни вечен в том смысле, в каком он предопределён природой. Человек рождается, растёт, женится или выходит замуж, рождает детей и умирает. И вполне естественно, что ему хотелось бы должн ...

Великая Отечественная война (1941–1945 гг.)
Великая Отечественная война началась 22 июня 1941 г. Согласно плану «Барбаросса» военные силы разделились на три основные группы армии: «Север», «Центр», «Юг». На базе приграничных округов были созданы: 1) Северный фронт (М. М. Попов); 3) Северо-Западный фронт (Ф. И. Кузнецов); 4) Западный фронт (Д. Г. Павлов); 5) Юго-Западный фро ...