Поверхности второго и высших порядков
Страница 1

«Поверхности» как таковые, кроме плоскости и шара, древние математики почти не рассматривали. Правда, Архимед присоединил к известным тогда обыкновенным коническим и цилиндрическим поверхностям еще «сфероиды» и «коноиды», но он смотрел на них как на «тела», имея целью определение их объемов.

Уравнение поверхности в пространственных координатах вывел впервые Лагир.

В трактате о кратчайших линиях на поверхностях [Comm. Ac. Petr., 1728 (1732)] Эйлер рассмотрел три частных рода поверхностей, а именно, цилиндрические и конические поверхности и поверхности вращения. Он привел для этих поверхностей, отчасти лишь словесно, уравнения, которые мы можем записать в виде

z=j(y), z=j(x2+ y2)

Вскоре затем Герман в одной статье в Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1738) частью аналитически, частью геометрически исследовал несколько поверхностей, данных своими уравнениями. Прежде всего, он рассмотрел плоскость

azx+by+cx-e2=0,

затем «параболически-цилиндрический клин»

z2 – ax - by=0

конус

z2 – xy=0

«коноиды»

z2 – ax - by=0

и

a z2 + b y z+ c y2 – e x z + f x2+ g z – h x = 0

и, далее, «круглые тела» с общим уравнением

u2 – x2 – y2 =0

где

u2=a2 - и u2=с2 -

(в последнем случае при а=b получается шар). В заключение Герман рассмотрел тело, уравнение которого привел в виде (b-z)=bx. Это уравнение аналитически, хотя и не применяя настоящих пространственных координат, исследовал в приложении к «Алгебре» (1685) еще Валлис, назвавший его Cono-Cuneus («конусо-клин»). Уже приведенные названия фигур свидетельствуют о том, что Герман видел в них в основном еще тела, чему содействовало также ограничение лишь положительными значениями z, а по большей части и положительными х, у. Для параболического конуса Герман определил касательную плоскость, не приводя ее уравнения, для коноидов — их высшие точки, для конусов (в том числе для тех, которые оказываются частными случаями коноидов) — круговые сечения и для «конусо-клина», рассматриваемого лишь в первом октанте, — различные сечения, характеризующие форму этих тел.

Эйлер присоединил ко второму тому своего «Введения в анализ» (1748) довольно обширное «Приложение о поверхностях». Прежде всего, он заявил, что о поверхности можно судить по расстояниям ее точек от произвольно выбранной плоскости. В этой плоскости он затем взял «ось» с «начальной точкой абсцисс» и ввел, таким образом, прямоугольную систему координат. Эйлер определенно указал, что х, у, z следует придавать всевозможные положительные и отрицательные значения, отметил возможность взаимной перемены трех координат и образуемых их осями плоскостей, весьма подробно разобрал вопрос о симметрии координат в восьми октантах. Тем не менее, на чертежах во внимание всегда принимался лишь первый октант, форма поверхностей вообще не анализировалась и понимание пространственных фигур как тел еще не было преодолено. Далее, Эйлер показал, что уравнение с двумя координатами представляет цилиндрическую или призматическую поверхность, а однородное уравнение выражает конус (или пирамиду). После этого он привел весьма общий класс поверхностей, включающий конусы, цилиндры и поверхности вращения (однородное уравнение относительно Z, х, у, где Z есть функция z), затем другой класс поверхностей, сечения которых (именно в первом октанте), перпендикулярные к оси, представляют собой треугольники (сюда попадает, между прочим, «конусо-клин» Валлиса), потом класс поверхностей, параллельные сечения которых аффинные между собой, и еще два вида линейчатых поверхностей, — все это без примеров. Затем Эйлер показал, как можно вообще представить сечение поверхности произвольной плоскостью в самой этой плоскости уравнением с двумя координатами t, v; он применил это потом к точному исследованию сечений цилиндра, конуса и шара, причем за основу взял прямые эллиптические цилиндр и конус, включающие рассматривавшиеся раньше косые круговые конус и цилиндр.

Страницы: 1 2


Изменения в социальной сфере.
В начале правления Петра I насчитывалось около 15 тысяч дворян. Политика правительства была направлена на укрепление их рядов, увеличение и сплочение русского дворянства, и в результате его численность увеличилась в пять раз. Указ 1714г о единонаследии юридически уравнял поместья и вотчины, объявив все числившиеся за дворянами имения и ...

Революция в Венгрия. Провозглашение независимости. Российская интервенция и поражение революции.
Успехи революционного движения в Австрии и Чехии ускорили революционный взрыв в других частях многонациональной Австрийской империи. Особенно энергично стремление к национальной независимости и свободе проявилось в Венгрии. 15 марта по призыву группы радикальной молодежи во главе с талантливым поэтом Шандором Петефи в Пеште начались де ...

Внешняя политика России в XVIIв.
Основные задачи: 1. Возвращение территорий, потерянных в период Смуты, а в перспективе - присоединение украинских и других земель, входивших в состав Древней Руси. 2. Борьба за выход к Балтийскому и Черному морям. 3. Дальнейшее продвижение на восток. Препятствие решению этих задач: 1. Экономическая и военная отсталость России. 2. з ...