За этим следовала специальная глава, в которой выводились уравнения, преобразующие одну прямоугольную систему пространственных координат в другую. Так как Эйлер ввел шесть определяющих преобразование величин, то его формулы оказались несимметричными. В той же связи Эйлер ввел здесь понятие «порядка» поверхности и сформулировал теорему, что порядок плоской кривой, возникающей при сечении поверхности, не выше порядка самой поверхности; попутно он отметил также возможность распадения линии пересечения на несколько других. В качестве примера Эйлер привел уравнение плоскости

α x + β y + γ z = a,

для которой, между прочим, определил углы с координатными плоскостями.

После всего этого Эйлер впервые предпринял исследование общего уравнения второй степени с тремя координатами. В первую очередь он рассмотрел совокупность высших членов уравнения, как характеризующую «асимптотический конус», и сообщил условия его действительности, а также его вырождения. Затем, не произведя, впрочем, всех должных выкладок, он правдоподобным образом показывает, что общее уравнение может быть приведено к виду

Арр + Вqq + Crr + К = 0.

Из этого уравнения Эйлер получает эллипсоид («elliptoeides»), однополостный и двухполостный гиперболоиды («superficies еlliptico-hyperbolica» и «superficies hyperbolico-nyperbolica»). Эллиптический и гиперболический параболоиды («superficies elliptico-parabolica» и «superficies parabolico-hyperbolica») выражены здесь уравнением

Арр ± Bqq = ar.

Эйлер упоминает еще параболический цилиндр

Арр = аq

и делает несколько беглых замечаний о том, как можно определить род поверхности по какому-нибудь данному уравнению. Рассуждения Эйлера, особенно в части, касающейся доказательств, были еще весьма несовершенны, но предложенная им классификация легла в основу позднейших исследований.

Еще в начале «Приложения» Эйлер заявил, что не намерен рассматривать подобно Клеро кривые двоякой кривизны отдельно, ибо они тесно связаны с природой поверхностей. Свое «Приложение» он поэтому закончил главой о пересечении двух поверхностей, вообще говоря, представляющем пространственную кривую. Он показал, как при исключении одной из переменных возникают уравнения проекций этой кривой на координатные плоскости, и применил это также к пересечению поверхности с плоскостью. Для примера он привел пересечение плоскости с шаром, причем нашел условия их соприкосновения. Далее, он определил для шара сначала конус вращения, касающийся его вдоль некоторой окружности, а потом эллиптический конус, касающийся шара в двух точках. Относительно последнего случая он заметил, что хотя кривая пересечения имеет лишь две действительные точки, но ее проекция на некоторую координатную плоскость действительна. При определении касательной плоскости к поверхности Эйлер пользовался лишь приемом Клеро, не устанавливая общего уравнения этой плоскости, которое потребовало бы «анализа бесконечного», между тем как «Введение в анализ» должно было лишь «открыть к нему путь». В самом конце Эйлер разъяснил, как найти две поверхности, пересекающиеся по данной плоской кривой.[11]

Прорыв «линии Маннергейма»
7 января 1940 года на Карельском перешейке был создан Северо-Западный фронт, во главе которого встал командарм 1-го ранга С.К. Тимошенко. В его состав вошли 7-я армия К.А. Мерецкова, и только что образованная 13-я армия комкора В.Д. Грендаля. Обе армии были существенно усилены артиллерией, танками и авиацией, переброшенными из Киевского ...

Договор с королем Сигизмундом (4 февраля 1610 г.)
В Тушинском лагере у самозванца служило много поляков. Презираемый и оскорбляемый своими польскими союзниками, царик в мужицком платье и на навозных санях едва ускользнул в Калугу из-под бдительного надзора, под каким его держали в Тушине. Русские тушинцы вынуждены были (после того как поляки (тушинцы) вступили в соглашение с королем, к ...

Ар­мей­ские  пар­ти­зан­ские  от­ря­ды.
На­ря­ду с об­ра­зо­ва­ни­ем круп­ных кре­сть­ян­ских пар­ти­зан­ских от­ря­дов и их дея­тель­но­стью, боль­шую роль в вой­не сыг­ра­ли ар­мей­ские пар­ти­зан­ские от­ря­ды. Пер­вый ар­мей­ский пар­ти­зан­ский от­ряд был создан по ини­циа­ти­ве М. Б. Барк­лая де Тол­ли. Его ко­ман­ди­ром был ге­не­рал Ф. Ф. Вин­цен­ге­ро­де, ко­то­р ...