За этим следовала специальная глава, в которой выводились уравнения, преобразующие одну прямоугольную систему пространственных координат в другую. Так как Эйлер ввел шесть определяющих преобразование величин, то его формулы оказались несимметричными. В той же связи Эйлер ввел здесь понятие «порядка» поверхности и сформулировал теорему, что порядок плоской кривой, возникающей при сечении поверхности, не выше порядка самой поверхности; попутно он отметил также возможность распадения линии пересечения на несколько других. В качестве примера Эйлер привел уравнение плоскости

α x + β y + γ z = a,

для которой, между прочим, определил углы с координатными плоскостями.

После всего этого Эйлер впервые предпринял исследование общего уравнения второй степени с тремя координатами. В первую очередь он рассмотрел совокупность высших членов уравнения, как характеризующую «асимптотический конус», и сообщил условия его действительности, а также его вырождения. Затем, не произведя, впрочем, всех должных выкладок, он правдоподобным образом показывает, что общее уравнение может быть приведено к виду

Арр + Вqq + Crr + К = 0.

Из этого уравнения Эйлер получает эллипсоид («elliptoeides»), однополостный и двухполостный гиперболоиды («superficies еlliptico-hyperbolica» и «superficies hyperbolico-nyperbolica»). Эллиптический и гиперболический параболоиды («superficies elliptico-parabolica» и «superficies parabolico-hyperbolica») выражены здесь уравнением

Арр ± Bqq = ar.

Эйлер упоминает еще параболический цилиндр

Арр = аq

и делает несколько беглых замечаний о том, как можно определить род поверхности по какому-нибудь данному уравнению. Рассуждения Эйлера, особенно в части, касающейся доказательств, были еще весьма несовершенны, но предложенная им классификация легла в основу позднейших исследований.

Еще в начале «Приложения» Эйлер заявил, что не намерен рассматривать подобно Клеро кривые двоякой кривизны отдельно, ибо они тесно связаны с природой поверхностей. Свое «Приложение» он поэтому закончил главой о пересечении двух поверхностей, вообще говоря, представляющем пространственную кривую. Он показал, как при исключении одной из переменных возникают уравнения проекций этой кривой на координатные плоскости, и применил это также к пересечению поверхности с плоскостью. Для примера он привел пересечение плоскости с шаром, причем нашел условия их соприкосновения. Далее, он определил для шара сначала конус вращения, касающийся его вдоль некоторой окружности, а потом эллиптический конус, касающийся шара в двух точках. Относительно последнего случая он заметил, что хотя кривая пересечения имеет лишь две действительные точки, но ее проекция на некоторую координатную плоскость действительна. При определении касательной плоскости к поверхности Эйлер пользовался лишь приемом Клеро, не устанавливая общего уравнения этой плоскости, которое потребовало бы «анализа бесконечного», между тем как «Введение в анализ» должно было лишь «открыть к нему путь». В самом конце Эйлер разъяснил, как найти две поверхности, пересекающиеся по данной плоской кривой.[11]

Внутренняя борьба в Японии
Феодальные князья, используя новые сложившиеся обстоятельства, стали предъявлять все большие требования к расширению своих прав за счет сёгуната. В 1862 г. один из самых могущественных князей южной Японии, Симадзу из княжества Сацума, двинул свои войска на Киото под тем предлогом, что он желает лично выразить свои верноподданнические ч ...

Борьба за власть: март 1953 - февраль 1955 гг.
Несколькими месяцам ранее до окончания оккупации Австрии союзниками, а именно, 8 февраля 1955 г. произошла перестановка сил в руководстве аппарата: Булганин и Хрущев заняли высшие советские посты Что же произошло? Почему Маленкова и Молотова сместили? Нужно отметить, что борьба за власть началась уже у постели умирающего Сталина, когда ...

Происхождение. Начало княжения
Святой благоверный князь Александр Невский родился 30 мая 1220 года в городе Перяславле-Залесском. Его детство прошло в Переяславле, где жил его отец. Согласно обычаю того времени Александра рано отдали в княжеское учение. Его мать заботилась о его духовном образовании, а отец уделял большое внимание физическому развитию так как будущий ...