За этим следовала специальная глава, в которой выводились уравнения, преобразующие одну прямоугольную систему пространственных координат в другую. Так как Эйлер ввел шесть определяющих преобразование величин, то его формулы оказались несимметричными. В той же связи Эйлер ввел здесь понятие «порядка» поверхности и сформулировал теорему, что порядок плоской кривой, возникающей при сечении поверхности, не выше порядка самой поверхности; попутно он отметил также возможность распадения линии пересечения на несколько других. В качестве примера Эйлер привел уравнение плоскости

α x + β y + γ z = a,

для которой, между прочим, определил углы с координатными плоскостями.

После всего этого Эйлер впервые предпринял исследование общего уравнения второй степени с тремя координатами. В первую очередь он рассмотрел совокупность высших членов уравнения, как характеризующую «асимптотический конус», и сообщил условия его действительности, а также его вырождения. Затем, не произведя, впрочем, всех должных выкладок, он правдоподобным образом показывает, что общее уравнение может быть приведено к виду

Арр + Вqq + Crr + К = 0.

Из этого уравнения Эйлер получает эллипсоид («elliptoeides»), однополостный и двухполостный гиперболоиды («superficies еlliptico-hyperbolica» и «superficies hyperbolico-nyperbolica»). Эллиптический и гиперболический параболоиды («superficies elliptico-parabolica» и «superficies parabolico-hyperbolica») выражены здесь уравнением

Арр ± Bqq = ar.

Эйлер упоминает еще параболический цилиндр

Арр = аq

и делает несколько беглых замечаний о том, как можно определить род поверхности по какому-нибудь данному уравнению. Рассуждения Эйлера, особенно в части, касающейся доказательств, были еще весьма несовершенны, но предложенная им классификация легла в основу позднейших исследований.

Еще в начале «Приложения» Эйлер заявил, что не намерен рассматривать подобно Клеро кривые двоякой кривизны отдельно, ибо они тесно связаны с природой поверхностей. Свое «Приложение» он поэтому закончил главой о пересечении двух поверхностей, вообще говоря, представляющем пространственную кривую. Он показал, как при исключении одной из переменных возникают уравнения проекций этой кривой на координатные плоскости, и применил это также к пересечению поверхности с плоскостью. Для примера он привел пересечение плоскости с шаром, причем нашел условия их соприкосновения. Далее, он определил для шара сначала конус вращения, касающийся его вдоль некоторой окружности, а потом эллиптический конус, касающийся шара в двух точках. Относительно последнего случая он заметил, что хотя кривая пересечения имеет лишь две действительные точки, но ее проекция на некоторую координатную плоскость действительна. При определении касательной плоскости к поверхности Эйлер пользовался лишь приемом Клеро, не устанавливая общего уравнения этой плоскости, которое потребовало бы «анализа бесконечного», между тем как «Введение в анализ» должно было лишь «открыть к нему путь». В самом конце Эйлер разъяснил, как найти две поверхности, пересекающиеся по данной плоской кривой.[11]

Курсом XX–XXII съездов
XX съезд партии (1956 год) открыл новый этап в истории Башкирской АССР, как и всей Советской страны. Устранялись ошибки в деятельности партийных и советских органов, возрождался ленинский принцип коллективного руководства и т.д. В июне 1957 года трудящиеся республики торжественно отмечали 400-летие добровольного присоединения Башкирии ...

Классическое средневековье. Основные черты средневекового города
В центре города лежала обычно просторная рыночная площадь. На нее выходило величественное здание ратуши — здесь располагался магистрат, здесь «отцы города» решали важнейшие дела. Неподалеку обычно возвышалась и главная городская церковь. Горожане собирались туда не только на молитву, но и чтобы отметить важное событие или праздник, высл ...

События в Польше (Познань)
В Польше первыми признаками кризиса стали рабочие волнения на автомобильном заводе ЦИСТО в Познани. К рабочим присоединились трудящиеся других заводов. Движение началось с мирной демонстрации. Но затем произошли столкновения. Полицейские участки были атакованы рабочими и захваченное там оружие распределено между ними. Требования рабочих ...