В том же году, что и «Алгебра» Маклорена, вышла книга Эйлера «Введение в анализ бесконечных величин».

рис. 2. Титульный лист книги.

Рис. 3. Оглавление

Второй том «Введения» был отведен исключительно геометрии, именно — аналитической геометрии. Эйлер весьма ясно и искусно резюмировал здесь все достижения своего времени в этой области, не внеся, впрочем, в само учение о кривых каких-либо важных новых результатов. Теорию прямолинейных и криволинейных асимптот он разработал без алгебраического треугольника, исследуя лишь разложение на линейные множители выражений, составленных из членов n-й, (п - 1)-й и т. д. степени уравнения кривой. Очевидно, что ему не были знакомы ни работы де-Гюа, ни работы Стирлинга, а идеи первого о равноправности бесконечно удаленных и конечных элементов были ему совершенно чужды. Он распределил кривые третьего порядка на 16 родов в соответствии с их поведением в бесконечности. При этом он справедливо отметил, что с точки зрения своего принципа классификации Ньютон должен был бы установить значительно больше видов, чем 72, и подчеркнул, что его собственная классификация является окончательной. Для каждого рода он привел его нормальное уравнение и номера соответствующих ему видов Ньютона. Для кривых четвертого порядка он получил таким же путем 146 родов. То немногое, что Эйлер приводит о диаметральных и других свойствах кривых 3-го порядка, он вывел из общего уравнения. Еще большей краткостью отличались его рассуждения об определении формы кривой по уравнению. Столь же бегло Эйлер коснулся вопроса о касательных в простых и кратных точках. Если кратная точка имеет координаты р, q, то в случае двойной точки он приводит уравнение кривой в форме

Р (х – p)2 + Q (х — р) (y – g) + P(y — q)2 = 0,

а затем дает соответствующие формы уравнений для тройной и четырехкратной точек.

Вслед за тем Эйлер несколько подробнее и оригинально изложил учение о кривизне линий. Прежде всего он определил для кривой аппроксимирующую ее в окрестности данной точки параболу и нашел для последней круг кривизны. Для уравнения

0 = At + Bu + Ctt + Dtu + Euu + Ft3 + Gttu + Htuu + и т. д.

Эйлер получает, что длина радиуса кривизны в начале координат равна

Анализируя это выражение, он пришел к точкам перегиба первого и высшего порядков, для чего привлекались еще члены третьей степени. Аналогично рассматривались лежащие в начале координат точки заострения первого и высших порядков. В качестве общей формы, заключающей все эти возможности, он взял аппроксимирующие кривые с уравнениями αrm = sn. В плане подобных рассмотрений точки заострения второго рода, разумеется, не встречались, однако с помощью удачно выбранного примера Эйлер доказал, что такие точки действительно существуют. Ближайшие две главы книги Эйлера трактовали о кривых, имеющих диаметры, и об определении кривых, ординаты которых обладают данными свойствами. В последнем случае Эйлер имел в виду следующее. Пусть, например, уравнение кривой дано в виде

yy - Py + Q = 0,

где Р и Q — функции х, и ординаты, соответствующие одному и тому же значению х, суть РМ и PN. Тогда можно принять, например, что

PMn + PNn=an

(п может быть также отрицательным или дробным). Аналогично обстоит дело с кривыми, уравнение которых имеет вид

y3 - Py2 + Qy – R = 0.

В следующей главе Эйлер определял кривые по другим условиям. Однако и эти условия носили весьма ограничительный характер и относились только к свойствам отрезков, отсекаемых на лучах, выходящих из начала координат. Вначале Эйлер устанавливает общие уравнения алгебраических кривых, имеющих с таким лучом лишь одну, две или три точки пересечения. Попутно Эйлер употребляет полярные координаты, полагая луч СМ = z, а угол его наклона к оси Ох обозначая через φ, так что

Россия в период правления Елизаветы Петровны и Петра III
В ночь на 25 ноября 1741 г. при поддержке гвардейских офицеров Елизавета совершила дворцовый переворот и была провозглашена императрицей. Малолетний император Иоанн был сослан на Север России. В период царствования Елизаветы была проведена одна из важнейших экономических реформ – отмена внутренних таможен (по указу 20 декабря 1753 г. ) ...

Начало войны
На рассвете 22 июня 1941 г. без объявления войны, нарушив Пакт о ненападении, германская армия обрушилась всей своей мощью на советскую землю. Тысячи артиллерийских орудий открыли огонь по советской территории. Авиация атаковала аэродромы, военные гарнизоны, узлы связи, командные пункты Красной армии, крупнейшие промышленные объекты Укр ...

Россия на пороге преобразований (конец XVII века)
Прежде чем рассматривать реформаторскую деятельность Петра, вспомним, что представляла собой Россия в конце XVII в. Огромная территория и «непохожесть» России на западные страны сразу бросались в глаза иностранцам, побывавшим в России. Многим из них, Московское государство представлялось отсталым и даже «полудиким». Это отставание было ...