В том же году, что и «Алгебра» Маклорена, вышла книга Эйлера «Введение в анализ бесконечных величин».

рис. 2. Титульный лист книги.

Рис. 3. Оглавление

Второй том «Введения» был отведен исключительно геометрии, именно — аналитической геометрии. Эйлер весьма ясно и искусно резюмировал здесь все достижения своего времени в этой области, не внеся, впрочем, в само учение о кривых каких-либо важных новых результатов. Теорию прямолинейных и криволинейных асимптот он разработал без алгебраического треугольника, исследуя лишь разложение на линейные множители выражений, составленных из членов n-й, (п - 1)-й и т. д. степени уравнения кривой. Очевидно, что ему не были знакомы ни работы де-Гюа, ни работы Стирлинга, а идеи первого о равноправности бесконечно удаленных и конечных элементов были ему совершенно чужды. Он распределил кривые третьего порядка на 16 родов в соответствии с их поведением в бесконечности. При этом он справедливо отметил, что с точки зрения своего принципа классификации Ньютон должен был бы установить значительно больше видов, чем 72, и подчеркнул, что его собственная классификация является окончательной. Для каждого рода он привел его нормальное уравнение и номера соответствующих ему видов Ньютона. Для кривых четвертого порядка он получил таким же путем 146 родов. То немногое, что Эйлер приводит о диаметральных и других свойствах кривых 3-го порядка, он вывел из общего уравнения. Еще большей краткостью отличались его рассуждения об определении формы кривой по уравнению. Столь же бегло Эйлер коснулся вопроса о касательных в простых и кратных точках. Если кратная точка имеет координаты р, q, то в случае двойной точки он приводит уравнение кривой в форме

Р (х – p)2 + Q (х — р) (y – g) + P(y — q)2 = 0,

а затем дает соответствующие формы уравнений для тройной и четырехкратной точек.

Вслед за тем Эйлер несколько подробнее и оригинально изложил учение о кривизне линий. Прежде всего он определил для кривой аппроксимирующую ее в окрестности данной точки параболу и нашел для последней круг кривизны. Для уравнения

0 = At + Bu + Ctt + Dtu + Euu + Ft3 + Gttu + Htuu + и т. д.

Эйлер получает, что длина радиуса кривизны в начале координат равна

Анализируя это выражение, он пришел к точкам перегиба первого и высшего порядков, для чего привлекались еще члены третьей степени. Аналогично рассматривались лежащие в начале координат точки заострения первого и высших порядков. В качестве общей формы, заключающей все эти возможности, он взял аппроксимирующие кривые с уравнениями αrm = sn. В плане подобных рассмотрений точки заострения второго рода, разумеется, не встречались, однако с помощью удачно выбранного примера Эйлер доказал, что такие точки действительно существуют. Ближайшие две главы книги Эйлера трактовали о кривых, имеющих диаметры, и об определении кривых, ординаты которых обладают данными свойствами. В последнем случае Эйлер имел в виду следующее. Пусть, например, уравнение кривой дано в виде

yy - Py + Q = 0,

где Р и Q — функции х, и ординаты, соответствующие одному и тому же значению х, суть РМ и PN. Тогда можно принять, например, что

PMn + PNn=an

(п может быть также отрицательным или дробным). Аналогично обстоит дело с кривыми, уравнение которых имеет вид

y3 - Py2 + Qy – R = 0.

В следующей главе Эйлер определял кривые по другим условиям. Однако и эти условия носили весьма ограничительный характер и относились только к свойствам отрезков, отсекаемых на лучах, выходящих из начала координат. Вначале Эйлер устанавливает общие уравнения алгебраических кривых, имеющих с таким лучом лишь одну, две или три точки пересечения. Попутно Эйлер употребляет полярные координаты, полагая луч СМ = z, а угол его наклона к оси Ох обозначая через φ, так что

Монголия в начале XVI в.
В Новое время Монголия потеряла былое могущество и к началу XVI в. представляла собой раздробленные, постоянно враждовавшие друг с другом территории, протянувшиеся от юга Сибири до Великой китайской стены, а также от Хинганского хребта до предгорий Тянь-шаня. Основным занятием населения являлось экстенсивное кочевое скотоводство. Землед ...

Возникновение первых политических партий. Конституция 1889 года
В начале 1880 годов в Японии стали оформляться первые политические партии, социальной базой и опорой которых были помещичье-буржуазные круги. Эти партии были либеральными по своим политическим установкам. Либеральные помещики критиковали модель абсолютизма и деятельность правительства. Основные причины их недовольства вызывали высокий п ...

Парламентский кризис и угроза фашизма
Политика правительств подвергалась критике как слева, так и справа. Особенно агрессивными были нападки со стороны крайне левых и фашистских организаций. Повторяя лозунги итальянских и германских фашистов, французские экстремисты требовали ликвидации прогнившего парламента, уничтожения коммунизма и установления диктатуры. В идеологии фра ...