х = z cos φ, у = z sin φ.

Затем он берет условия типа CM ± CN = const., = const., = const, и некоторые другие и исследует соответствующие классы кривых. Сходным образом поступает он и в случае трех точек пересечения.

Специальную главу Эйлер посвятил подобию и аффинности кривых. Он повторил сделанное уже ранее указание, что однородное относительно х и у уравнение представляет только систему («aliquot») прямых, пересекающихся в одной точке. Если же уравнение оказывается однородным при введении «параметра» и, то все представляемые им кривые являются подобными. Эйлер приводит для примера уравнение

у3 — 2 х3 + a y y — a a x + 2 a a y = 0

и доказывает, что если координаты точек другой кривой системы обозначить X и Y, то всегда будет

и .

«Аффинными» Эйлер назвал кривые, координаты которых связаны уравнениями

и .

Это определение совпадает с современным понятием аффинности. Затем Эйлер привел еще несколько примеров на составление систем кривых с одним переменным параметром.

Интересно, что в свою книгу Эйлер включил также главу о трансцендентных кривых. Он кратко рассмотрел тригонометрические кривые, логарифмическую кривую, циклоиду, эпициклоиды и гипоциклоиды, линию х у = у х и спирали. Для спиралей он вновь применил полярные координаты, обозначая полярный угол, измеряемый в радианах, через s, а полярный радиус-вектор, как и раньше, через z. Ни здесь, ни где-либо в другом месте этого тома дифференциальное исчисление не применялось. [11]

Надо обратить внимание, что дидактические достоинства второго тома «Введения» велики. Изложение отличается отчетливостью и доступностью, систематизация материала вполне естественная. Для того времени это «научный трактат» и в то же время хороший учебник. Впервые аналитическая геометрия была столь полно и последовательно изложена. Отныне ей было обеспечено самостоятельное место среди других математических дисциплин. [6]

Сословное и государственное устройство древнего Рима республиканского периода
Расширение власти Рима, вводя в него все новые элементы, создавало в населении два слоя — господствующий и подвластный. Такой дуализм представляется нам уже в древнейшем, доисторическом Риме, проявляясь в антагонизме между патрициями и плебеями. Борьба между патрициями и плебеями есть факт, господствующий над историей государственного у ...

Основные причины крестовых походов
Кресто́вые похо́ды — серия военных походов западноевропейских рыцарей, направленных против «неверных» — мусульман, язычников, православных государств и различных еретических движений. Целью первых крестовых походов было освобождение Палестины, в первую очередь Иерусалима (с Гробом Господним), от турок-сельджуков, однако поздне ...

Упоминание в мифологии и сказках
Хотя данное доказательство нельзя считать достоверным и научным, однако нельзя отрицать факт существования упоминаний в сказках и легендах о драконах. На земле практически нет этносов, не сохранивших в литературе, фольклоре или изобразительном творчестве воспоминаний о гигантских драконах, монстрах и чудовищах. Американским исследовате ...