Первые дифференциально-геометрические исследования относились к кратчайшим линиям на поверхностях. В самом деле, именно при изучении геодезических линий Иоганн Бернулли в 1697, по-видимому, впервые, применил исчисление бесконечно малых. Изложение своего метода он составил лишь в 1728, а опубликовал его в 1742 (Opera, т. IV; ср. стр. 201—202). Как известно из одного его письма к Эйлеру от 18 апреля 1729, дифференциальное уравнение, полученное Бернулли, имело вид

где Т обозначает подкасательную и ds2 = dx2 + dy2. В одной схолии сам Бернулли показал, что это дифференциальное уравнение легко преобразовать к форме, которая содержится в опубликованной тем временем Эйлером статье в Соmm. Ac. Petr., 1728 (1732). Бернулли опирался на теорему, полученную, впрочем, из механических соображений, что соприкасающаяся плоскость геодезической линии («planum osculans») должна быть перпендикулярна к касательной плоскости поверхности (письмо к Лейбницу, август 1698).

Бернулли добавил, что в случае поверхностей вращения задачу можно также решить, требуя, чтобы при развертывании узкой полосы поверхности, содержащей геодезическую линию, на плоскость эта линия переходила в прямую. Для конуса это замечание было сделано Як. Бернулли уже в Acta Erud., 1698.

Эйлер решил задачу в указанной статье, исходя из высказанного еще в 1697 Як. Бернулли положения, что минимальное свойство всей кривой должно быть присуще и ее мельчайшим частям, а также применяя теорию максимумов и минимумов.

У Эйлера дифференциальное уравнение геодезической линии имело вид

,

где функции Р, Q берутся из дифференциального уравнения поверхности

Pdx = Qdy + Rdt. Эйлер затем подробнее разобрал частные случаи общего цилиндра и конуса, а также поверхностей вращения. Для этих случаев он привел дифференциальное уравнение к уравнению первого порядка, а в заключение указал некоторые обобщения. Эйлер не забыл отметить, что при развертывании поверхностей цилиндра или конуса на плоскость их геодезические линии должны перейти в прямые.

Лейбниц также весьма интересовался этим вопросом, но он лишь указал (в переписке с И. Бернулли, 1698) способ, который мог бы также привести к составлению дифференциального уравнения. Прием, указываемый Лейбницем, совпадал с тем, которым воспользовался для решения задачи молодой Клеро в Mem. Ac. Paris, 1733 (1735).

Существенный шаг вперед сделал здесь опять-таки Эйлер в IV главе второго тома «Механики» (1736), где доказал, что точка, движущаяся по поверхности без ускорения, всегда описывает геодезическую линию. При этом у него получилось механическое доказательство теоремы, из которой исходил Бернулли (аналитическое доказательство дал впервые Лагранж в 1806).

Более простой вопрос о геодезических кривых на поверхностях вращения геометрически разрешил, как было отмечено, Як. Бернулли (Acta Erud., 1698). Клеро затем доказал, что для точек такой линии произведение радиуса параллельного круга на синус ее угла с меридианом постоянно [Mem. Ac. Paris, 1733 (1735)]; с помощью разложений в ряды он приближенно определил геодезические линии эллипсоида вращения, мало отличающегося от шара [там же, 1739 (1740)].

Эйлер, побуждаемый Иоганном Бернулли, обобщил задачу о геодезических линиях на кривые, соприкасающаяся плоскость которых образует с касательной плоскостью к поверхности угол, отличный от прямого (письмо к Бернулли от 11 июля 1730, опубликовано в 1903 г.). Эту задачу решил и Бернулли (Opera, IV, 1742). [11]

Феодальное право в странах Западной Европы. Источники
В северных районах Франции применялись нормы обычного права, королевские указы, распоряжения местных властей, а на юге преобладало реципированное писаное римское право. В отличие от обычного права государств континентальной Европы английское обычное право было в своей основе общим для всей страны. Многие из обычаев, которые отвечали ин ...

Экономическое развитие страны. Переход к новой экономической политике и её сущность
Началом перехода к нэпу стал X съезд РКП(б) (март 1921 г.). В его повестке одним из самых важных оказался вопрос, внесенный в нее в отличие от других лишь на самом съезде: «О замене разверстки натуральным налогом». Выступил с этим докладом (как и с Политическим отчетом ЦК) В. И. Ленин. Конкретные пути перехода к новой экономической пол ...

Основные тенденции развития экономики в странах Западной Европы в XIY-XY вв.
Особое значение для развития экономики имела эволюция феодальной собственности. Ее своеобразие проявлялось в том, что, являясь частной, она тем не менее не была абсолютной собственностью на землю, поскольку содержала определенную условность. Суть здесь в том, что каждый крупный феодал предоставлял надел более мелкому феодалу лишь при ус ...