Первые дифференциально-геометрические исследования относились к кратчайшим линиям на поверхностях. В самом деле, именно при изучении геодезических линий Иоганн Бернулли в 1697, по-видимому, впервые, применил исчисление бесконечно малых. Изложение своего метода он составил лишь в 1728, а опубликовал его в 1742 (Opera, т. IV; ср. стр. 201—202). Как известно из одного его письма к Эйлеру от 18 апреля 1729, дифференциальное уравнение, полученное Бернулли, имело вид

где Т обозначает подкасательную и ds2 = dx2 + dy2. В одной схолии сам Бернулли показал, что это дифференциальное уравнение легко преобразовать к форме, которая содержится в опубликованной тем временем Эйлером статье в Соmm. Ac. Petr., 1728 (1732). Бернулли опирался на теорему, полученную, впрочем, из механических соображений, что соприкасающаяся плоскость геодезической линии («planum osculans») должна быть перпендикулярна к касательной плоскости поверхности (письмо к Лейбницу, август 1698).

Бернулли добавил, что в случае поверхностей вращения задачу можно также решить, требуя, чтобы при развертывании узкой полосы поверхности, содержащей геодезическую линию, на плоскость эта линия переходила в прямую. Для конуса это замечание было сделано Як. Бернулли уже в Acta Erud., 1698.

Эйлер решил задачу в указанной статье, исходя из высказанного еще в 1697 Як. Бернулли положения, что минимальное свойство всей кривой должно быть присуще и ее мельчайшим частям, а также применяя теорию максимумов и минимумов.

У Эйлера дифференциальное уравнение геодезической линии имело вид

,

где функции Р, Q берутся из дифференциального уравнения поверхности

Pdx = Qdy + Rdt. Эйлер затем подробнее разобрал частные случаи общего цилиндра и конуса, а также поверхностей вращения. Для этих случаев он привел дифференциальное уравнение к уравнению первого порядка, а в заключение указал некоторые обобщения. Эйлер не забыл отметить, что при развертывании поверхностей цилиндра или конуса на плоскость их геодезические линии должны перейти в прямые.

Лейбниц также весьма интересовался этим вопросом, но он лишь указал (в переписке с И. Бернулли, 1698) способ, который мог бы также привести к составлению дифференциального уравнения. Прием, указываемый Лейбницем, совпадал с тем, которым воспользовался для решения задачи молодой Клеро в Mem. Ac. Paris, 1733 (1735).

Существенный шаг вперед сделал здесь опять-таки Эйлер в IV главе второго тома «Механики» (1736), где доказал, что точка, движущаяся по поверхности без ускорения, всегда описывает геодезическую линию. При этом у него получилось механическое доказательство теоремы, из которой исходил Бернулли (аналитическое доказательство дал впервые Лагранж в 1806).

Более простой вопрос о геодезических кривых на поверхностях вращения геометрически разрешил, как было отмечено, Як. Бернулли (Acta Erud., 1698). Клеро затем доказал, что для точек такой линии произведение радиуса параллельного круга на синус ее угла с меридианом постоянно [Mem. Ac. Paris, 1733 (1735)]; с помощью разложений в ряды он приближенно определил геодезические линии эллипсоида вращения, мало отличающегося от шара [там же, 1739 (1740)].

Эйлер, побуждаемый Иоганном Бернулли, обобщил задачу о геодезических линиях на кривые, соприкасающаяся плоскость которых образует с касательной плоскостью к поверхности угол, отличный от прямого (письмо к Бернулли от 11 июля 1730, опубликовано в 1903 г.). Эту задачу решил и Бернулли (Opera, IV, 1742). [11]

"Неолитическая революция" и ее последствия.
Неолитическая революция — переход человечества от существования за счет охоты и собирательства к жизни за счет сельского хозяйства. Этот переход начался в мезолите и завершился в неолите. Неолитическая революция обозначает тот выдающийся в истории человечества рубеж, когда совершился переход к земледелию и скотоводству, или, иначе гово ...

Применение средств индивидуализации в письменной коммуникации
В настоящее время, когда практически все компании пользуются компьютерной техникой, письменное изложение фирменных документов компании имеет свои характерные черты, отличающие ее от других компаний. Рассмотрим средства индивидуализации письменной коммуникации одного из известных в Дзержинке предприятий – ОАО «Дзержинское Оргстекло» (со ...

Вместо вступления...
«Древнейшая история человечества, охватывающая многотысячелетний период дописьменной истории, по сей день остается, по сути дела, terra incognita (неизвестная область). Только в учебниках и обзорных работах, где на нескольких страницах запросто умещается весь этот период мировой истории, он предстает в виде достаточно ясной и последоват ...