Применение дифференциальных операций к более общим пространственным образам, как и вообще их аналитическое изучение, последовало сравнительно поздно. В «Исследованиях» Клеро (1731), кроме подкасательной пространственной кривой, встречается лишь формула ds=. Какой-либо прогресс в этом отношении не наблюдается вплоть до выхода двух статей Эйлера о пространственных кривых, последовавших одна за другой в Act. Ac. Petr., 1782, I (1786). Поэтому две указанные работы следует считать в данной области основоположными. Чтобы не выделять особо какую-либо из осей координат, Эйлер сразу выбирает в качестве независимой переменной длину дуги s, полагая

dx = p ds, dy = q ds и dz = r ds.

Затем он описал вокруг точки кривой Z шар единичного радиуса, на который, как сказали бы мы, сферически отобразил окрестность точки кривой вместе с прямыми, проходящими через нее параллельно осям, и т. д.; прием этот вел свое происхождение из астрономии.

Далее, Эйлер применил формулы сферической тригонометрии, добавив, однако (в Dissertatio altera — «Другое рассуждение»), для тех, кого не может удовлетворить этот «чужеродный принцип», совершенно иной вывод, отправлявшийся от соприкасающейся плоскости. Полученные результаты сам Эйлер резюмировал в заключении следующим образом. Если взять прямоугольный параллелепипед со сторонами х, у, z, то его диагональ дает длину и направление радиуса-вектора; диагональ параллелепипеда со сторонами р, q, r дает направление касательной и длина ее равна 1; диагональ параллелепипеда со сторонами

дает направление радиуса кривизны, а длина ее равна обратному значению последнего; наконец, если взять стороны равными и т. д., то длина диагонали будет та же, что и в предыдущем случае, а направление ее будет перпендикулярным к соприкасающейся плоскости.

В тесной связи с этими исследованиями находилась работа Эйлера о «телах», поверхность которых можно наложить на плоскость [Nov. Comm. Petrop., 1771 (1772)]. Подобными развертываниями многократно занимались с чисто практической точки зрения еще ранее Фр. Деран («Архитектура сводов и т. д.» — L'architecture des voutes etc., Париж, 1643) и особенно

А. Фрезье («Теория и практика резки камней и дерева» — La theorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois, I, Страсбург, 1737; см. также ниже о Гварини, стр. 309). Но понятие развертывающейся поверхности создал Эйлер. Он взял на плоскости бесконечно малый прямоугольный треугольник, исходящий из точки (t, u), и определил на поверхности такой треугольник, исходящий из точки х, у, z, который был бы конгруэнтен с первым. Полагая и т. д., он получил условия развертываемости поверхности в виде

l2 +m2 + n2 =1, λ2 + μ2 + ν2 =1, l λ + m μ + n ν =0.

Затем Эйлер аналитически и геометрически показал, что касательные к любой пространственной кривой всегда образуют развертывающуюся поверхность, и что тоже относится к поверхности, образуемой общими касательными двух «тел», одно из которых рассматривается как светящееся. Тем самым было введено понятие развертывающихся поверхностей, а точки их представлены были с помощью двух параметров.

Военное сотрудничество
Подводя итоги военно-политических и военных отношений между Москвой и Берлином в 1920 - 1933 гг. можно сформулировать следующее. С учетом своеобразия 20 - 30-х годов значимость этого сотрудничества для Советского Союза выходит далеко за рамки утилитарных интересов военного ведомства. С точки зрения наращивания военного потенциала и повы ...

Происхождение славян
Ученые по-разному определяют временные рамки древнерусской цивилизации: от появления первых государственных образований в VI в., появления древнерусского государства в IX в. Или крещения Руси в Х в. до петровских реформ или до XIV–XV в. Имеющиеся источники позволяют говорить о начале этногенеза наших предков в I тысячелетии до н.э., ког ...

Заключение мирного договора
В течение 7-12 марта в Москве происходили переговоры по вопросу о прекращении военных действий и заключении мирного договора между СССР и Финляндией. Переговоры закончились подписанием 12 марта 1940 г. Мирного Договора между Советским Союзом и Финляндией. Согласно подписанному 12 марта Договору государственная граница между СССР и Финл ...