Историческая информация » Выдающаяся роль Леонарда Эйлера в развитии алгебры, геометрии и теории чисел » Заслуги Эйлера в преобразовании и дальнейших успехах тригонометрии

Заслуги Эйлера в преобразовании и дальнейших успехах тригонометрии
Страница 2

Во втором томе «Введения» (глава 22-я) Эйлер применил к решению трансцендентных уравнений, вроде s=cos s или s=sin 2s и т. п., правило ложного положения. Как сообщает он сам, он придумал подобные задачи с целью посмотреть, нельзя ли приблизиться таким путем к квадратуре круга. Позднее, когда Ламберт уже доказал иррациональность p, Эйлер вновь занялся подобными рассмотрениями, подчеркивая, что работа Ламберта отнюдь еще не доказала невозможность квадратуры круга.

Прежде чем перейти к заслугам Эйлера в сферической тригонометрии, упомянем еще о двух тригонометрических разложениях, лежащих несколько в стороне. Эйлер нашел их, развивая предложенный Декартом и затем неоднократно открывавшийся вновь способ построения окружности данной длины (Декарт, Opuscula posthuma, Амстердам, 1701, ср. его Oeuvres, т. X). Это бесконечный ряд

tgj + tg +tg + .= - 2ctg2j

[ср. Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763)] и бесконечное произведение

cos jcoscos . = ,

которое Эйлер другим путем вывел уже в Comm. Ac. Petr., 1737 (1744).

Сферической тригонометрией Эйлер специально занялся в двух больших статьях, подойдя при этом к ней с различных точек зрения. В первой, помещенной в Mem. Ac. Berl., 1753 (1755) он совершенно общим образом построил сферическую тригонометрию как геометрию треугольников, составленных на поверхности сферы линиями кратчайшего расстояния. Эйлер исходил из прямоугольного треугольника, обозначив катет АР через х, катет РМ через у, гипотенузу AM через s [рис. 4]. Если О — полюс большого круга (экватора), на котором лежит АР, а Ор — меридиан, бесконечно близкий к ОР, то

Рис. 4.

Mm = ds, mn = dy, Pp = dx

и линия Мп, лежащая на параллельном круге широты у, равна dxcosy, так что

ds = Ö.

Далее, Эйлер искал условия, при которых интеграл этого элемента дуги будет иметь минимальное значение, и получил, таким образом, 10 уравнений, возникающих из правила Непера. Здесь в первый раз появились обозначения, которые мы теперь склонны считать само собой разумеющимися и отсутствие которых часто придавало такой неудобный вид прежним работам. Мы имеем в виду обозначение трех сторон буквами а, b, с, а противолежащих вершин и углов треугольника буквами А, В, С. То, что мы обозначаем последние по большей части буквами а, b, g, конечно, менее существенно. Греческие буквы были введены лишь в XIX столетии, хотя иногда а, b, g, применялись уже А. Кестнером в его «Основаниях арифметики, геометрии и тригонометрии» (Геттинген, 1759; 6-е изд. 1800). Новые обозначения позволили Эйлеру записать свои десять уравнений вполне в современном виде. Затем он получил из них шесть различных основных уравнений для прямоугольного треугольника. Соответствующим образом Эйлер поступил и в случае общего сферического треугольника. Определив минимум одной из сторон, он прежде всего нашел пять фундаментальных уравнений, из которых затем вывел теорему синусов, обе теоремы косинусов и так называемое правило котангенса (впервые встречающееся у Виета); последнее появилось у него в форме

sin a tg С — sin В tg с = cos a cos B tg C tgc,

переходящей в употребляемую ныне при делении на tgCtgc. Эйлер записывал каждую теорему в трех видах, которые получаются друг из друга циклической перестановкой, хотя сам Эйлер ею не пользовался. О полярном треугольнике Эйлер не упоминал, и вообще, с точки зрения полноты, в статье имелось несколько малозначительных пробелов. Зато применения и преобразования фундаментальных теорем были в высшей степени богатые.

Страницы: 1 2 3


Специальные плоские кривые
Еще долго до того, как возникла общая теория конических сечений, был изобретен ряд отдельных кривых для построения античных задач. «Треугольные кривые» возникли в одной оптической задаче, поставленной Эйлером [Act. Ac. Petr., 1778, II (1781). Эвольвенты этих кривых он называл «круговидными» (Orbiformen). Кривым с несколькими осями сим ...

Социально-политический кризис начала 1900х гг.
Предпосылки: - социально-экономические пережитки в сельском хозяйстве сочетались с развитием капитализма как в сельском хозяйстве, так и в промышленности, что способствовало обострению противоречий в российском обществе - неурожай 1900г, экономический кризис 190-1903гг и финансовые последствия русско -японской войны 1904-1905гг усугуб ...

Начало и первые годы войны
Война за независимость Соединённых Штатов Америки началась 19 апреля 1775 года. В этом же году Вашингтон был назначен главнокомандующим Континентальной армии. На протяжении года американцы, ведя военные действия против Великобритании, надеялись вместе в тем на сохранение с ней государственных уз. Эта надежда исчерпалась весной 1776 года ...