Историческая информация » Выдающаяся роль Леонарда Эйлера в развитии алгебры, геометрии и теории чисел » Заслуги Эйлера в преобразовании и дальнейших успехах тригонометрии

Заслуги Эйлера в преобразовании и дальнейших успехах тригонометрии
Страница 2

Во втором томе «Введения» (глава 22-я) Эйлер применил к решению трансцендентных уравнений, вроде s=cos s или s=sin 2s и т. п., правило ложного положения. Как сообщает он сам, он придумал подобные задачи с целью посмотреть, нельзя ли приблизиться таким путем к квадратуре круга. Позднее, когда Ламберт уже доказал иррациональность p, Эйлер вновь занялся подобными рассмотрениями, подчеркивая, что работа Ламберта отнюдь еще не доказала невозможность квадратуры круга.

Прежде чем перейти к заслугам Эйлера в сферической тригонометрии, упомянем еще о двух тригонометрических разложениях, лежащих несколько в стороне. Эйлер нашел их, развивая предложенный Декартом и затем неоднократно открывавшийся вновь способ построения окружности данной длины (Декарт, Opuscula posthuma, Амстердам, 1701, ср. его Oeuvres, т. X). Это бесконечный ряд

tgj + tg +tg + .= - 2ctg2j

[ср. Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763)] и бесконечное произведение

cos jcoscos . = ,

которое Эйлер другим путем вывел уже в Comm. Ac. Petr., 1737 (1744).

Сферической тригонометрией Эйлер специально занялся в двух больших статьях, подойдя при этом к ней с различных точек зрения. В первой, помещенной в Mem. Ac. Berl., 1753 (1755) он совершенно общим образом построил сферическую тригонометрию как геометрию треугольников, составленных на поверхности сферы линиями кратчайшего расстояния. Эйлер исходил из прямоугольного треугольника, обозначив катет АР через х, катет РМ через у, гипотенузу AM через s [рис. 4]. Если О — полюс большого круга (экватора), на котором лежит АР, а Ор — меридиан, бесконечно близкий к ОР, то

Рис. 4.

Mm = ds, mn = dy, Pp = dx

и линия Мп, лежащая на параллельном круге широты у, равна dxcosy, так что

ds = Ö.

Далее, Эйлер искал условия, при которых интеграл этого элемента дуги будет иметь минимальное значение, и получил, таким образом, 10 уравнений, возникающих из правила Непера. Здесь в первый раз появились обозначения, которые мы теперь склонны считать само собой разумеющимися и отсутствие которых часто придавало такой неудобный вид прежним работам. Мы имеем в виду обозначение трех сторон буквами а, b, с, а противолежащих вершин и углов треугольника буквами А, В, С. То, что мы обозначаем последние по большей части буквами а, b, g, конечно, менее существенно. Греческие буквы были введены лишь в XIX столетии, хотя иногда а, b, g, применялись уже А. Кестнером в его «Основаниях арифметики, геометрии и тригонометрии» (Геттинген, 1759; 6-е изд. 1800). Новые обозначения позволили Эйлеру записать свои десять уравнений вполне в современном виде. Затем он получил из них шесть различных основных уравнений для прямоугольного треугольника. Соответствующим образом Эйлер поступил и в случае общего сферического треугольника. Определив минимум одной из сторон, он прежде всего нашел пять фундаментальных уравнений, из которых затем вывел теорему синусов, обе теоремы косинусов и так называемое правило котангенса (впервые встречающееся у Виета); последнее появилось у него в форме

sin a tg С — sin В tg с = cos a cos B tg C tgc,

переходящей в употребляемую ныне при делении на tgCtgc. Эйлер записывал каждую теорему в трех видах, которые получаются друг из друга циклической перестановкой, хотя сам Эйлер ею не пользовался. О полярном треугольнике Эйлер не упоминал, и вообще, с точки зрения полноты, в статье имелось несколько малозначительных пробелов. Зато применения и преобразования фундаментальных теорем были в высшей степени богатые.

Страницы: 1 2 3


Битва при Гавгамелах. Изменения в политике Александра.
Весной 331 года до н. э. Александр покинул Египеь, чтобы возобновить решительную борьбу против персидского царя. Дарий после того, как его мирное предложение было отвергнуто македонским царём, стал проводить обширную, всестороннюю подготовку не только к обороне, но и к наступлению, для чего собрал значительные военные силы. Диодор указы ...

Предпосылки крестьянской реформы 1861 г. Отмена крепостного права
Объективными предпосылками реформы 1861 г. были экономические процессы. Александр II для проведения реформы «сверху» создает Комитет из сановной элиты. В итоге 19 февраля 1861 г. Александр II утвердил все законодательные акты, касающиеся отмены крепостного права. Среди них выделялись: 1) «Общее положение о крестьянах, вышедших из к ...

Советский тыл в 1942 году.
Благодаря усилиям советского народа к середине 1942 года была завершена перестройка экономики на военный лад. К лету на востоке страны действовало уже 1200 крупных эвакуированных предприятий. Кроме того, было введено в эксплуатацию 850 новых заводов, шахт, электростанций, доменных и мартеновских печей, прокатных станов и других важных о ...