Эйлер весьма обстоятельно занялся вышеупомянутым специальным случаем целочисленного решения так называемого уравнения Пелля, с которым, как мы видели, он встретился рано. Он установил, что для преобразования трехчлена ах2+bх+с в квадрат y2 необходимо решение уравнения Пелля, и посвятил ему поэтому несколько статей. В последней из них, появившейся в Nov. Comm. Ac. Petr., 1765 (1767), он, наконец, привел общий способ его решения, показав, каким образом приводит к цели вычисление подходящих дробей разложения в цепную дробь. Сам по себе его метод не оставлял желать ничего лучшего, но обоснование его страдало множеством недостатков. Лагранж, начавший тогда же работать над этим вопросом и вначале не знавший о статье Эйлера, дал в четвертом томе Misc. Taur. (1766/69) первое строгое доказательство того, что уравнение всегда разрешимо, и сообщил метод его решения. Ознакомившись с работой Эйлера, он видоизменил и упростил свой способ в Mem. Ac. Berl., 1768 (1770) так, что в основном он уже несущественно отличался от приема Эйлера. Метод Лагранжа тот же, который употребляли еще индусы, не пытаясь, конечно, строго его обосновать. В самой ясной и простой форме метод Эйлера — Лагранжа был изложен затем Лежандром в его знаменитом «Опыте теории чисел» (Essai sur la theorie des nombres, Париж), впервые опубликованном в 1797/8.

Из сказанного видно, что систематическое изучение вопросов неопределенного анализа начато было только Эйлером и достигло известного завершения в его работах и работах Лагранжа. Эйлер поэтому поспешил сделать свои исследования в этой области доступными более широким кругам, включив их во вторую часть своего руководства по алгебре. Во французском переводе этого первого курса теории неопределенных уравнений, выпущенном в 1774, Лагранж снабдил отдельные главы дополнениями, еще значительно увеличившими ценность и полезность книги.

До сих пор рассматривались решения неопределенных уравнений, интерес к которой возбудили Диофант и Баше. Теперь обратимся к задачам, возникшим, главным образом, из оставшихся без доказательства теорем Ферма. Эйлер неоднократно обращался к утверждению Ферма, что уравнение хп+уп =zп при n>2 неразрешимо в целых числах. Эйлер сделал еще один шаг вперед, доказав с помощью того же метода справедливость теоремы при п=3. Не вполне аккуратное доказательство для этого случая он сообщил еще в 1753 Гольдбаху. Точное доказательство им было впервые напечатано в Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763) и подробнее проведено в «Алгебре». Тщетно пытаясь найти доказательство теоремы в общем виде, Эйлер натолкнулся на ряд прекрасных теорем о делимости чисел, имеющих форму степенных двучленов; они находятся в Nov. Comm. Ac. Petr., 1747/48 (1750) и в 9-й главе посмертного «Трактата по теории чисел» (Tractatus de numerorum doctrina, опубликовано во 2-м томе Comment, aritheticae, Петербург, 1849).

Другие утверждения Ферма привели Эйлера к исследованию чисел, которые могут быть представлены некоторыми специальными формами второй степени вида тх2 + пу2 [см. Comm. Ac. Petr., 1744/46 (1751), Mem. Ac. Petr., 1812 (1815) и Nov. Act. Ac. Petr., 1783 (1787)]. Так он доказал теорему Ферма, гласящую, что всякое простое число вида 4п+1 можно единственным образом представить как сумму двух квадратов, и теорему Ваше о том, что всякое неквадратное число можно представить как сумму двух, трех или четырех квадратов. Однако он не дал ни общей трактовки задачи о представлении числа в виде некоторой данной формы, ни метода, позволяющего a priori устанавливать свойства таких чисел.[12]

Завоевания Александра на Востоке: ход военных действий. Покорение Малой Азии, Сирии, Египта.
Поход на Восток Александр начал весной 334 г. до н. э. после того, как завершил усмирение своих северных соседей и мятежных греческих государств. его армия двинулась вдоль северного побережья Эгейского моря по направлению к Геллеспонту, через который он намеревался совершить свой мгновенный переход из Европы в Азию. Арриан сообщает о т ...

Социально-экономическое развитие России в XV-первой половине XVIвв.
Россия представляла собой аграрную страну со значительным преобладание сельского населения (к середине XVIв из примерно 6 млн жителей городское население составляло не более 5%). Главным занятием оставалось земледелие. Все более распространялась трехпольная система. Главным орудиям была соха, которая несколько усовершенствовалась. Выращ ...

Историографический обзор
В исторической литературе имеется много мнений о значении татарской политики в истории России. Мнения историков в значительной степени являются отголоском тех суждений о татарах, которые дошли до нас от современников, непосредственно переживших режим татарской власти. Летописцы подчеркивают главным образом те бедствия, которые выпали ...