Эйлер весьма обстоятельно занялся вышеупомянутым специальным случаем целочисленного решения так называемого уравнения Пелля, с которым, как мы видели, он встретился рано. Он установил, что для преобразования трехчлена ах2+bх+с в квадрат y2 необходимо решение уравнения Пелля, и посвятил ему поэтому несколько статей. В последней из них, появившейся в Nov. Comm. Ac. Petr., 1765 (1767), он, наконец, привел общий способ его решения, показав, каким образом приводит к цели вычисление подходящих дробей разложения в цепную дробь. Сам по себе его метод не оставлял желать ничего лучшего, но обоснование его страдало множеством недостатков. Лагранж, начавший тогда же работать над этим вопросом и вначале не знавший о статье Эйлера, дал в четвертом томе Misc. Taur. (1766/69) первое строгое доказательство того, что уравнение всегда разрешимо, и сообщил метод его решения. Ознакомившись с работой Эйлера, он видоизменил и упростил свой способ в Mem. Ac. Berl., 1768 (1770) так, что в основном он уже несущественно отличался от приема Эйлера. Метод Лагранжа тот же, который употребляли еще индусы, не пытаясь, конечно, строго его обосновать. В самой ясной и простой форме метод Эйлера — Лагранжа был изложен затем Лежандром в его знаменитом «Опыте теории чисел» (Essai sur la theorie des nombres, Париж), впервые опубликованном в 1797/8.

Из сказанного видно, что систематическое изучение вопросов неопределенного анализа начато было только Эйлером и достигло известного завершения в его работах и работах Лагранжа. Эйлер поэтому поспешил сделать свои исследования в этой области доступными более широким кругам, включив их во вторую часть своего руководства по алгебре. Во французском переводе этого первого курса теории неопределенных уравнений, выпущенном в 1774, Лагранж снабдил отдельные главы дополнениями, еще значительно увеличившими ценность и полезность книги.

До сих пор рассматривались решения неопределенных уравнений, интерес к которой возбудили Диофант и Баше. Теперь обратимся к задачам, возникшим, главным образом, из оставшихся без доказательства теорем Ферма. Эйлер неоднократно обращался к утверждению Ферма, что уравнение хп+уп =zп при n>2 неразрешимо в целых числах. Эйлер сделал еще один шаг вперед, доказав с помощью того же метода справедливость теоремы при п=3. Не вполне аккуратное доказательство для этого случая он сообщил еще в 1753 Гольдбаху. Точное доказательство им было впервые напечатано в Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763) и подробнее проведено в «Алгебре». Тщетно пытаясь найти доказательство теоремы в общем виде, Эйлер натолкнулся на ряд прекрасных теорем о делимости чисел, имеющих форму степенных двучленов; они находятся в Nov. Comm. Ac. Petr., 1747/48 (1750) и в 9-й главе посмертного «Трактата по теории чисел» (Tractatus de numerorum doctrina, опубликовано во 2-м томе Comment, aritheticae, Петербург, 1849).

Другие утверждения Ферма привели Эйлера к исследованию чисел, которые могут быть представлены некоторыми специальными формами второй степени вида тх2 + пу2 [см. Comm. Ac. Petr., 1744/46 (1751), Mem. Ac. Petr., 1812 (1815) и Nov. Act. Ac. Petr., 1783 (1787)]. Так он доказал теорему Ферма, гласящую, что всякое простое число вида 4п+1 можно единственным образом представить как сумму двух квадратов, и теорему Ваше о том, что всякое неквадратное число можно представить как сумму двух, трех или четырех квадратов. Однако он не дал ни общей трактовки задачи о представлении числа в виде некоторой данной формы, ни метода, позволяющего a priori устанавливать свойства таких чисел.[12]

Гангутское морское сражение (1714 г.)
После победы зимой 1714 г. у Лапполо можно было развивать действия на море. К 1714 г. русский флот представлял большую силу, способную потягаться с шведским флотом. Обстановка в Западной Европе несколько улучшилась для России. Между державами-победительницами — Англией, Голландией и Австрией — начались серьезные трения после Утрехтского ...

Пусть из варяг в греки
Киевская Русь возникла на торговом пути "из варяг в греки" на землях восточнославянских племен — словенов (новгородцев), кривичей, полян, охватив затем древлян, дреговичей, полочан, радимичей, северян, вятичей. Путь "из варяг в греки ", название водного торгового пути в Киевской Руси, связывавшего Северную Русь с Юж ...

Второй этап революции (август 1848 г.— август 1849 г.). Подъем демократического движения в Центральной Италии и Венеции
Поражение пьемонтских войск и отказ монархов от участия в освободительной войне вызвали кризис умеренно-либерального направления. Рушились созданные либералами мифы о Пие IX и Карле Альберте как духовном и военном вождях Италии. Переговоры между правительствами Пьемонта, Тосканы, Папского государства и Неаполя о создании военной и полити ...