С конца XVII до тридцатых годов XVIII столетия мы не можем назвать какого-либо замечательного теоретико-числового открытия. Математики были слишком заняты разработкой возникших недавно исчисления бесконечно малых и аналитической геометрии. Только Эйлер, распространивший свою огромную активность на все области математики, уделил внимание этой отвлеченнейшей ее ветви и даже с особенной любовью занимался ею на протяжении всей жизни. Из многочисленных работ Эйлера мы, разумеется, можем выделить только важнейшие результаты и методы, не вдаваясь в частности.

§4.1. Целочисленное решение неопределенных уравнений

В целом ряде статей Эйлер занялся целочисленным решением неопределенных уравнений. Уже в раннем периоде своей деятельности он нашел упомянутый выше способ решений уравнений первой степени с двумя неизвестными [Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740)], который мы встретили у Ролля. В «Полном введении в алгебру» (1768/69) Эйлер применил тот же прием к линейным уравнениям с несколькими неизвестными. К последним он возвратился затем в статье, опубликованной уже после его смерти во втором томе «Аналитических сочинений» (Opuscula analytica, 1785). Лагранж в Mem. Ac. BerL, 1768 (1770) присоединил к методу Эйлера еще свой известный способ цепных дробей, весьма близкий, впрочем, к способу Ваше. Еще ранее Эйлер показал [Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1738)], как получается бесконечно много целочисленных решений уравнения ах2 + bx + с =y2, если известно одно такое решение. Несложное преобразование этого уравнения немедленно приводит задачу к более простой, именно к определению целочисленных решений уравнения A+By2=z2. В Nov. Comm. Ac. Petr. за 1762/63 (1764) и 1773 (1774) Эйлер сумел также дать правила нахождения одного такого решения при положительном В. Однако его исследования вскоре были отодвинуты на задний план результатами Лагранжа, который привел к виду А+Вt2= и2 общее уравнение

Ах2 + bxy + су2 +dx +cy +f=0

и в Mem. Ac. Berl., 1769 (1771) подробнейшим образом рассмотрел вопрос о решении первого уравнения. Прием Лагранжа заключался в том, что посредством подходящих преобразований он постепенно уменьшал коэффициенты, пока один из них не становился равным единице, после чего решение сводилось к решению задачи Ферма. Эйлер все же вернулся впоследствии к общей проблеме снова и сообщил два метода, позволявших по одному известному решению найти бесконечно много решений. Вместе с тем он нашел условия, при которых рациональные решения переходят в целочисленные [см. Nov. Comm. Ac. Petr., 1773 (1774) и «Аналитические сочинения», т. I, 1783]. Эйлер подошел к аналогичной задаче и для уравнений третьей и четвертой степеней. Последние исследования, в которых предшественником Эйлера был еще Ферма, рассмотревший две частные формы четвертой степени, относились к 1780, но появились много времени спустя после смерти Эйлера [например, в т. XI Mem. Petersb. (1830)], когда они представляли уже почти лишь исторический интерес.

В круг своих занятий Эйлер включил также вопрос о целочисленном решении систем диофантовых уравнений высших степеней и систем более чем с двумя неизвестными, которому посвятил целый ряд статей. Однако они не оказали влияния на последующее развитие теории чисел, ибо не давали общих методов и содержали только искусные приемы в частных случаях.

Дополнения
Говоря о Ярославе Мудром нельзя не вспомнить его знаменитое прозвище «тесть Европы», которым его наделили, благодаря заключению династических браков со многими европейскими владыками. Одним из таких браков, (хоть, может быть, и не самым важным), является брак дочери Ярослава Елизаветы и норвежского короля Харольда Сурового. Дочь русског ...

Общественно-политическое развитие СССР в середине 1950х-начале 1960х гг.
После смерти Сталина в марте 1953г у власти оказался триумвират - Маленков, Берия, Хрущев. Отменялись внесудебные органы, реформировалась система ГУЛАГа, была проведена амнистия. 26 июня на заседании Президиума ЦК Берия был арестован. На сентябрьском пленуме ЦК КПСС Н.С.Хрущев был избран Первым секретарем ЦК. Органы госбезопасности бы ...

Елизавета Петровна Романова
Дочь Петра I и будущей императрицы Екатерины Алексеевны появилась на свет 18 декабря 1709 г. В этот день русские войска, победители в Полтавском сражении, развернув знамена, торжественно вступали в Москву. Получив радостное известие о рождении дочери, Петр устроил в ее честь трехдневное празднество. Царь очень любил свою вторую семью. П ...