Разложение на простые множители
Страница 1

Нужно еще добавить кое-что о разложении чисел на множители и о связанных с этим теоремах о простых числах. Уже Валлис в своем «Рассуждении о соединениях» (Discourse of Combinations, 1685) высказал теорему, гласившую, что всякое число можно разложить на простые множители единственным образом. Он выразил словесно важную формулу, согласно которой число делителей числа т= ., где р, q, r, . - простые числа, равно (l+1) (m+l)(n+1) ., и нашел, что сумма всех этих делителей равна

благодаря этому Валлис решил некоторые задачи, поставленные перед ним Ферма. Для нахождения самих делителей, именно простых делителей больших чисел, Эйлер предложил метод, основанный на представлении этих делителей в виде квадратичной формы mx2+ny2 [Nov. Comm. Ac. Petr., 1768 (1769) и Nouv. Mem. Ac. Bed., 1776 (1779)]. Исследования Лагранжа о подобных квадратичных формах также смогли быть применены к определению простых делителей. Ник. де-Бегелен разработал в Nouv. Mem. Ac. Bed., 1775 (1777) метод отыскания простых делителей вида 4х2+1. Эйлер в письме к Бегелену обратил его внимание на то, что эти делители можно получить из более общей формы nх2 + у2, и указал правило подходящего выбора числа п, давшее ему целый ряд больших простых чисел [Nouv. Mem. Ac. Berl., 1776 (1779)]. Наконец, десять лет спустя Эйлер указал общий признак, позволяющий решать, является данное число простым или составным [Nov. Act. Ac. Petr. 1797/98 (1805)].

Вместе с тем математики того времени тщетно искали общее, аналитическое выражение для представления простых чисел. Лежандр, которому удалось доказать, что это выражение не может быть рациональным, потерял всякую надежду на то, что его когда-либо удастся найти. Вероятно, такое аналитическое выражение не существует вообще. Столь же мало вероятно существование функции p(х), составленной конечным образом и точно представляющей число простых чисел, не превосходящих числа х. Теорему о том, что эта функция p(х) при возрастании х асимптотически приближается (строго доказанную лишь Ж Адама-ром и. Валле-Пуссеном в 1896), предвидел еще Лежандр, не имея, впрочем, никакого представления о ее доказательстве. Он именно нашел (в «Опыте», 1798 и, точнее, во втором издании 1808) эмпирическую формулу

К разложению чисел на множители примыкает их разбиение на слагаемые, которые можно отнести к области аналитической теории чисел, т. е. к теоретико-числовым исследованиям, опирающимся на рассмотрения аналитического характера. Эйлер, посвятивший исследованиям этого рода 15-ю и 16-ю главы первого тома «Введения» (1748), и здесь опять указал путь вперед. Он исходил из разложения произведения

(1+xa z)(1+xb z)(1+xg z)

где a, b, g — положительные целые числа, в ряд

1+Pz+Qz2+Rz3+…

Отсюда немедленно следовало, что

Р = xa +xb +xg +…, Q = xa+b + xa+g+ …

и т. д., и было видно, что если показатель одной и той же степени может представлять сумму двух или нескольких членов ряда a, b, g различными способами, то такая степень имеет коэффициент, заключающий в себе столько единиц, сколько существует таких способов. Поэтому, если требуется узнать, сколькими способами можно представить число п в виде суммы т неравных членов рядаa, b, g, ., то это укажет коэффициент имеющегося в разложении члена хnzm. Аналогичным образом Эйлер рассмотрел дробь

и вывел теорему, что коэффициент члена хпzm указывает, сколькими различными способами можно получить целое число я в виде суммы т равных или неравных чисел рядаa, b, g . Из этих двух главных теорем при тех или иных частных значениях z был получен ряд отдельных теорем об аддитивном разбиении чисел. Эйлер построил также таблицу, продолженную затем в Nov. Comm. Ac. Petr. [1750/51 (1753), см. также 1769 (1770)], в которой можно было прочесть, сколькими способами можно представить число п в виде сумм чисел 1, 2, 3, .,т. В указанных томах Nov. Comm. Ac. Petr. [см. также 1754/55 (1760)] он вывел отсюда так называемую пентагональную теорему, гласящую, что число разбиений числа п на четное число различных слагаемых равно числу разбиений на нечетное число слагаемых, кроме случая п , когда для т четного (нечетного) оно на единицу больше (соответственно, меньше). Тот же метод дал Эйлеру важную формулу

Страницы: 1 2


Русско-японская война. 1904-1905гг.
До объявления войны, в ночь на 27 января, Япония провела минную атаку против Тихоокеанской эскадры, стоявшей на рейде у Порт-Артура. Высадившаяся в Корее Первая японская армия двинулась к границе с Маньчжурией, где под Тюренченом отбросила русский Восточный отряд (май). Вторая (апрель) и Четвертая (июнь) японские армии после высадки дви ...

Возникновение мышления, речи и знаний.
В области первобытной культуры мощным стимулом стало возникновение мышления и речи. Речь возникает как ответ на необходимость передачи информации от одного члена коллектива к другому: при обучении в овладении новыми техническими навыками, взаимодействии на охоте и при длительных передвижениях, при выборе маршрутов и мест охоты, совместн ...

Первый совет рабочих депутатов
Весной-летом 1905 года волнения перекинулись в армию и на флот. В районе Одессы на учения вышел броненосец "Князь Потемкин-Таврический". 14 июня команда отказалась от обеда, приготовленного из гнилого мяса. Командир приказал всем построиться на палубе и вызвал караул. Среди матросов внезапно раздались крики: "Братцы! Дово ...