Нужно еще добавить кое-что о разложении чисел на множители и о связанных с этим теоремах о простых числах. Уже Валлис в своем «Рассуждении о соединениях» (Discourse of Combinations, 1685) высказал теорему, гласившую, что всякое число можно разложить на простые множители единственным образом. Он выразил словесно важную формулу, согласно которой число делителей числа т= ., где р, q, r, . - простые числа, равно (l+1) (m+l)(n+1) ., и нашел, что сумма всех этих делителей равна

благодаря этому Валлис решил некоторые задачи, поставленные перед ним Ферма. Для нахождения самих делителей, именно простых делителей больших чисел, Эйлер предложил метод, основанный на представлении этих делителей в виде квадратичной формы mx2+ny2 [Nov. Comm. Ac. Petr., 1768 (1769) и Nouv. Mem. Ac. Bed., 1776 (1779)]. Исследования Лагранжа о подобных квадратичных формах также смогли быть применены к определению простых делителей. Ник. де-Бегелен разработал в Nouv. Mem. Ac. Bed., 1775 (1777) метод отыскания простых делителей вида 4х2+1. Эйлер в письме к Бегелену обратил его внимание на то, что эти делители можно получить из более общей формы nх2 + у2, и указал правило подходящего выбора числа п, давшее ему целый ряд больших простых чисел [Nouv. Mem. Ac. Berl., 1776 (1779)]. Наконец, десять лет спустя Эйлер указал общий признак, позволяющий решать, является данное число простым или составным [Nov. Act. Ac. Petr. 1797/98 (1805)].

Вместе с тем математики того времени тщетно искали общее, аналитическое выражение для представления простых чисел. Лежандр, которому удалось доказать, что это выражение не может быть рациональным, потерял всякую надежду на то, что его когда-либо удастся найти. Вероятно, такое аналитическое выражение не существует вообще. Столь же мало вероятно существование функции p(х), составленной конечным образом и точно представляющей число простых чисел, не превосходящих числа х. Теорему о том, что эта функция p(х) при возрастании х асимптотически приближается (строго доказанную лишь Ж Адама-ром и. Валле-Пуссеном в 1896), предвидел еще Лежандр, не имея, впрочем, никакого представления о ее доказательстве. Он именно нашел (в «Опыте», 1798 и, точнее, во втором издании 1808) эмпирическую формулу

К разложению чисел на множители примыкает их разбиение на слагаемые, которые можно отнести к области аналитической теории чисел, т. е. к теоретико-числовым исследованиям, опирающимся на рассмотрения аналитического характера. Эйлер, посвятивший исследованиям этого рода 15-ю и 16-ю главы первого тома «Введения» (1748), и здесь опять указал путь вперед. Он исходил из разложения произведения

(1+xa z)(1+xb z)(1+xg z)

где a, b, g — положительные целые числа, в ряд

1+Pz+Qz2+Rz3+…

Отсюда немедленно следовало, что

Р = xa +xb +xg +…, Q = xa+b + xa+g+ …

и т. д., и было видно, что если показатель одной и той же степени может представлять сумму двух или нескольких членов ряда a, b, g различными способами, то такая степень имеет коэффициент, заключающий в себе столько единиц, сколько существует таких способов. Поэтому, если требуется узнать, сколькими способами можно представить число п в виде суммы т неравных членов рядаa, b, g, ., то это укажет коэффициент имеющегося в разложении члена хnzm. Аналогичным образом Эйлер рассмотрел дробь

и вывел теорему, что коэффициент члена хпzm указывает, сколькими различными способами можно получить целое число я в виде суммы т равных или неравных чисел рядаa, b, g . Из этих двух главных теорем при тех или иных частных значениях z был получен ряд отдельных теорем об аддитивном разбиении чисел. Эйлер построил также таблицу, продолженную затем в Nov. Comm. Ac. Petr. [1750/51 (1753), см. также 1769 (1770)], в которой можно было прочесть, сколькими способами можно представить число п в виде сумм чисел 1, 2, 3, .,т. В указанных томах Nov. Comm. Ac. Petr. [см. также 1754/55 (1760)] он вывел отсюда так называемую пентагональную теорему, гласящую, что число разбиений числа п на четное число различных слагаемых равно числу разбиений на нечетное число слагаемых, кроме случая п , когда для т четного (нечетного) оно на единицу больше (соответственно, меньше). Тот же метод дал Эйлеру важную формулу

«Гроза разразилась»
В ночь на 12 (24) июня 1812 года французская армия, выполняя приказ Наполеона, начала переход русской пограничной реки Неман. «Гроза 12 года» (Пушкин) разразилась. Выглядевший на бумаге стройно и красиво план Фуля рухнул, как только началась война. У Наполеона на главном направлении было в три раза больше сил. Наполеон хотел окружить ...

Высший подъём революции
Осенью-зимой 1905 года все общество пришло в движение. В это время слились воедино различные потоки революционного и либерального движения. Бастовали рабочие типографий, транспортники, табачники, столяры, булочники. Правительство вынуждено было держать в городе значительные военные силы. На призыв Всероссийского совещания профсоюзов к з ...

Внешняя политика СССР при Н. С. Хрущеве
На ХХ съезде КПСС была сформулирована новая доктрина, включавшая два основных пункта: 1) признавалась многовариантность путей построения социализма (с подтверждением принципа «пролетарского интернационализма», т. е. помощи коммунистическим партиям и социалистическим странам); 2) актуализировалась концепция мирного сосуществования госу ...