Другим приближенным методом, который покоился на совсем иной основе, чем способ Ньютона, и не нуждался в определении границ корней, был метод рекуррентных рядов, сообщенный Даниилом Бернулли в Comm. Ac. Petr., 1728 (1732). Возникновение этого метода было, впрочем, связано с замечаниями Ньютона о применении к решению уравнений сумм степеней корней. Способ Бернулли заключался в следующем. Пусть требуется решить уравнение

и пусть выбраны п произвольных чисел Р1, Р2, Р3, ., Рп. Если теперь определить Рп+1, Рп+2, . рекуррентным законом

(т=1, 2, 3, .), то отношение с возрастанием т приближается к наибольшему по абсолютной величине корню уравнения. Даниил Бернулли высказал эту теорему без доказательства. [12] Эйлер в 17-й главе «Введения» (1748) тщательно разобрал этот метод и привел отсутствовавший вывод.

Так как всякий рекуррентный ряд получается из развертывания рациональной дроби, то пусть эта дробь будет равна

откуда получается рекуррентный ряд

А+Вz+Cz2+Dz3+Ez4+Fz5+ и т.д.

его коэффициенты А, В, С, D, и т.д. определятся так:

A=a, B=aA+b, C=aB+bA+c,

D=aC+bB+gA+d, E=aD+bC+gB+dA+e и т.д.

Общий же член, т.е. коэффициент степени zn, найдется из разложения данной дроби на простые дроби, знаменатели коих являются множителями знаменателя

1-az-bz2-gz3- и т.д.

Вид общего члена зависит, главным образом, от свойств простых множителей знаменателя, будут ли они действительными или мнимыми, а так же от того, будут ли они отличны друг от друга или два и более будут одинаковыми. Для последовательного рассмотрения этих различных случаев положим вначале, что все простые множители знаменателя действительны и не равны между собой. Пусть все простые множители знаменателя будут

(1-pz)(1-qz)(1-rz)(1-sz) и т.д.

и тогда данная дробь разложится на простые дроби.

Когда они найдены, то общий член рекуррентного ряда будет равен

примем его равным Pzn; значит, P будет коэффициентом степени zn; у следующих же членов пусть коэффициенты будут Q, R, и т.д., так что рекуррентный ряд будет

А+Bz+Cz2+Dz3+…+Pzn+Qzn+1+Rzn+2+ и т.д.

Теперь положим, что п представляет чрезвычайно большое число, т.е. что рекуррентный ряд продолжен весьма далеко; так как степени неравных чисел тем более отличаются друг от друга, чем они больше, тем между степенями и т.д. будет такое различие, что степень, соответствующая наибольшему из чисел р, q, r и т.д. между собой не равны, то пусть p будет наибольшим среди них. Тогда, если п будет числом бесконечно большим, будем иметь

если же п будет числом не бесконечно, а лишь очень большим, то только приближенно будет Подобным образом будет и, следовательно.

Мирный договор
Мирный договор был подписан 30 марта 1856 года в Париже на международном конгрессе с участием всех воевавших держав, а также Австрии и Пруссии. Председательствовал на конгрессе глава французской делегации министр иностранных дел Франции граф Александр Валевский двоюродный брат Наполеона III. Русскую делегацию возглавил граф А. Ф. Орлов ...

Проблемы общественных отношений в средневековой истории
Одной из важных особенностей западноевропейской цивилизации является зарождение и развитие производ­ственных отношений, основанных на земельной собствен­ности. Феод — земельное владение, пожалованное сеньором сво­ему вассалу, обязующемуся за владение феодом служить сеньору. В отечественной историографии долго было принято считать пери ...

Приложения
Приложение 1 Список великих магистров Ордена Храма Гуго де Пейн (1118—1136); Робер де Краон (1136—1149); Эврар де Бар (1149—1150); Бернар де Тремеле (1150—1153); Андре де Монбар (1153—1156); Бертран де Бланфор (1156—1159); Филипп де Милли (1169—1170); Одон де Сент-Аман (1170—1180); Арно де Ла Тур Руж (1180—1184); Жерар де Ридф ...