Числовые приближенные
методы решения уравнений. Метод рекуррентных рядовСтраница 1
Другим приближенным методом, который покоился на совсем иной основе, чем способ Ньютона, и не нуждался в определении границ корней, был метод рекуррентных рядов, сообщенный Даниилом Бернулли в Comm. Ac. Petr., 1728 (1732). Возникновение этого метода было, впрочем, связано с замечаниями Ньютона о применении к решению уравнений сумм степеней корней. Способ Бернулли заключался в следующем. Пусть требуется решить уравнение
и пусть выбраны п произвольных чисел Р1, Р2, Р3, ., Рп. Если теперь определить Рп+1, Рп+2, . рекуррентным законом
(т=1, 2, 3, .), то отношение с возрастанием т приближается к наибольшему по абсолютной величине корню уравнения. Даниил Бернулли высказал эту теорему без доказательства. [12] Эйлер в 17-й главе «Введения» (1748) тщательно разобрал этот метод и привел отсутствовавший вывод.
Так как всякий рекуррентный ряд получается из развертывания рациональной дроби, то пусть эта дробь будет равна
откуда получается рекуррентный ряд
А+Вz+Cz2+Dz3+Ez4+Fz5+ и т.д.
его коэффициенты А, В, С, D, и т.д. определятся так:
A=a, B=aA+b, C=aB+bA+c,
D=aC+bB+gA+d, E=aD+bC+gB+dA+e и т.д.
Общий же член, т.е. коэффициент степени zn, найдется из разложения данной дроби на простые дроби, знаменатели коих являются множителями знаменателя
1-az-bz2-gz3- и т.д.
Вид общего члена зависит, главным образом, от свойств простых множителей знаменателя, будут ли они действительными или мнимыми, а так же от того, будут ли они отличны друг от друга или два и более будут одинаковыми. Для последовательного рассмотрения этих различных случаев положим вначале, что все простые множители знаменателя действительны и не равны между собой. Пусть все простые множители знаменателя будут
(1-pz)(1-qz)(1-rz)(1-sz) и т.д.
и тогда данная дробь разложится на простые дроби.
Когда они найдены, то общий член рекуррентного ряда будет равен
примем его равным Pzn; значит, P будет коэффициентом степени zn; у следующих же членов пусть коэффициенты будут Q, R, и т.д., так что рекуррентный ряд будет
А+Bz+Cz2+Dz3+…+Pzn+Qzn+1+Rzn+2+ и т.д.
Теперь положим, что п представляет чрезвычайно большое число, т.е. что рекуррентный ряд продолжен весьма далеко; так как степени неравных чисел тем более отличаются друг от друга, чем они больше, тем между степенями и т.д. будет такое различие, что степень, соответствующая наибольшему из чисел р, q, r и т.д. между собой не равны, то пусть p будет наибольшим среди них. Тогда, если п будет числом бесконечно большим, будем иметь
если же п будет числом не бесконечно, а лишь очень большим, то только приближенно будет Подобным образом будет
и, следовательно.
Союз с Пруссией и
польский вопрос
Договор 31 марта 1764 г. был не нужен России. Этот союз, целью которого было облегчить России ее задачи в Польше, только еще более затруднял их. Новый король Польши хотел вывести свое отечество из анархии путем реформ. Эти реформы не были опасны для России; ей было даже выгодно, чтобы Польша несколько окрепла и стала полезной союзницей ...
Монголия после смерти
Даян-хана
Смерть в 1543 г. Даян-хана стала своеобразным рубежом в политической истории Монголии, после которой процесс раздробленности страны стал усиливаться.
От Монголии постепенно стала отделяться ее южная часть, где власть унаследовали старшие сыновья Даян-хана. Эти территории имели, в отличие от северных, более тесные связи с минским Китаем ...
Успешность политики правительства
Это давление и в не меньшей степени соображения экономической целесообразности постепенно заставили гоминьдановское руководство ускорить перемены в экономической политике. Еще в середине 50-х гг. гоминьдановское правительство принимает первые законодательные акты, предоставлявшие некоторые льготы иностранным инвесторам, в особенности ки ...