Отсюда ясно, что если рекуррентный ряд продолжить достаточно далеко, то коэффициент любого члена при делении на предыдущий дает приближенное значение наибольшей буквы р.

Итак, если у данной дроби

в знаменателе все сомножители простые, действительные и не равные между собой, то из получающегося отсюда рекуррентного ряда можно будет узнать один простой множитель, именно, 1-pz, в котором буква р имеет самое большое значение. При этом коэффициенты числителя не играют роли, и, каковы бы ни были, для наибольше буквы р найдется одно и то же верное значение. Верное же значение р обнаружится лишь тогда, когда ряд будет продолжен до бесконечности; когда получены уже многие его члены, то значение p найдется тем ближе, чем больше число членов и чем более буква р превосходит остальные q, r, s и т.д.; при этом безразлично, будет ли эта буква р сопровождаться знаком плюс или минус, так как степени ее возрастают одинаково.

Теперь в достаточной степени выясняется, каким образом это исследование может быть применено к нахождению корней, какого либо алгебраического уравнения. Зная множители знаменателя

1-az-bz2-gz3-dz4- и т.д.,

легко указать корни уравнения

1-az-bz2-gz3-dz4- и т.д. =0,

так, что если множитель будет 1-pz, то один корень этого уравнения будет z=. Так как из рекуррентного ряда найдется наибольшее число р, то тем самым получится наибольший корень уравнения

1-az-bz2-gz3- и т.д. =0,

Или если положить z=, чтобы получилось уравнение

xm-axm-1-bxm-2-gxm-3- и т.д. =0,

то посредством того же метода получится наибольший корень этого уравнения х=р.

Итак, пусть дано уравнение

xm-axm-1-bxm-2-gxm-3- и т.д. =0,

у которого все корни действительны и не равны между собой; наибольший из этих корней найдется следующим образом. Составим из коэффициентов этого уравнения дробь

и отсюда образуем рекуррентный ряд, беря числитель произвольно или, что то же, принимая начальные члены произвольными; пусть этот ряд есть

А+Bz+Cz2+Dz3+…+Pzn+Qzn+1+ и т.д.

тогда дробь даст значение наибольшего корня х данного уравнения тем ближе, чем больше число п. [6]

п.2.2.2. Еще два оригинальных метода.

Кроме метода Бернулли, который сохранился до нашего времени в форме, сообщенной ему Лагранжем, XVIII столетие принесло еще два оригинальных метода И. Г. Ламберта. Оба они были изложены в статье «Различные замечания о чистой математике» (Observationes variae in mathesin puram в Acta Helvetica за 1758). Если в уравнении

сделать подстановку x = k+y и пренебречь всеми степенями у, кроме первой, то получится, что

Когда k представляет собой какое-либо число, эта формула, согласно Ламберту, дает приближенное значение для корня, ближайшего к k. Второй метод заключался в применении ряда, получившего название ламбертова, к трехчленным уравнениям вида

Роль Жанны д’Арк в Столетней войне. Детство и юность Жанны д’Арк. Мотивы участия в Столетней войне
Жанна д’Арк /4/ родилась и выросла в восточной Франции, в долине реки Маас. Одна из деревень, расположенная на левом берегу Мааса, вдоль дороги, проложенной еще римлянами, называлась « Домреми» /5/. Название это напоминало, что некогда деревня принадлежала собору святого Ремилия. Впоследствии эти земли перешли к светским сеньорам, а во ...

Экономическая политика
Поскольку темпы промышленного Развития Великобритании в 20-е гг. были низкими, в стране не произошло такого обвального спада производства, как это имело место в США или Германии. Тем не менее сокращение производства было достаточно серьезным, чтобы в стране сформировалась устойчивая массовая безработица. Протекционизм и государственная ...

Ключевые философы, литераторы и деятели искусства эпохи Возрождения из различных государств Европы.
Наивысший расцвет искусства Возрождения пришёлся на первую четверть XVI века, которая получила название «Высокое возрождение». Работы Леонардо да Винчи (1452—1519), Рафаэля Санти (1483—1520), Микеланджело Буонаротти (1475—1564), Джорджоне (1476—1510), Тициана (1477—1576), Антонио Корреджо (1489—1534) составляют золотой фонд европейского ...