Несмотря на появление этих прекрасных работ, общее понятие кривизны поверхности осталось невыясненным вплоть до К. Гаусса (1828). Эйлер даже ошибочно принял, что всякий элемент поверхности можно рассматривать как сферический («Dioptrica», I, Петербург, 1769); это же случилось раньше с Лейбницем (письмо к Иоганну Бернулли от 29 июля 1698), а позднее также с Далам-бером [«Encyclopedic methodique», Париж, 1784, статья «Кривая» («Courbe»), отдел «Кривые поверхности» (Surfaces courbes)].

Кроме упомянутых работ общего характера в рассматриваемый промежуток времени появился еще ряд работ, посвященных частным вопросам и прежде всего определению поверхностей, обладающих заданными свойствами. Так, Эйлер в Nov. Comm. Petr., 1769, I (1770) исследовал парадокс, заключающийся в том, что поверхности, площадь которых является данной функцией х, у, не должны быть конгруэнтны, как это имеет место в аналогичном случае для плоских кривых. Эйлер нашел дифференциальное уравнение с частными производными

p2+q2=f(x,y)

и проинтегрировал его в случае

f(x,y)=m2+n2.

При этом, кроме плоскости

z = a+ mx +пу,

получались все развертывающиеся поверхности, возникающие при движении плоскости, сохраняющей постоянный угол с осью Оz.

В другой статье [Nov. Act. Petr., 1788 (1790); поступила в 1776] Эйлер занялся поисками поверхностей с постоянным отрезком нормали между поверхностью и плоскостью хОу. Дифференциальное уравнение

z = a

дало здесь «искривленные цилиндры» («cylindri incurvati»), которые позднее были названы поверхностями каналов и которые возникают, когда центр некоторого данного круга движется вдоль произвольной кривой в плоскости хОу, причем плоскость круга все время остается перпендикулярной к касательной в соответствующей точке кривой. Эйлер здесь особо отмечает появление таких произвольных функций. Он тотчас же обобщил вопрос, потребовав, чтобы отрезок нормали представлял собой некоторую функцию Z аргумента z, так что в указанном выше дифференциальном уравнении вместо а появляется Z. В образовании соответствующих поверхностей при этом вместо окружности участвует некоторая другая плоская кривая. Так получаются геометрические образы, ныне называемые «резными поверхностями» («Gesimsfla-chen»). Эйлер возвращался к обоим видам поверхностей еще в Nov. Act. Petr. 1792 (1797; поступило в 1777) и 1794 (1801; поступило в 1778).

Эйлер перенес на пространство также проблему ортогональных траекторий [Mem. Ac. St-Pet., 1815/16 (1820; поступило в 1782)], причем в нескольких примерах ему удалось провести решение полностью. В Mem. Ac. Turin, (2) I (1784/85) Монж довольно общим образом рассмотрел вид дифференциального уравнения с частными производными, соответствующего классу поверхностей, конечное уравнение которых содержит п произвольных функций.

Как видно из заметки, опубликованной впервые в «Посмертных сочинениях» (Opera posthuma, I, Петербург, 1862), Эйлер уже около 1770 нашел общие уравнения, выражающие условия изгибаемости поверхностей, в опубликовании которых выход его работы опередил Гаусс (1828).

Дифференциальная геометрия получила применение и в картографии того времени. Ламберт в своих «Очерках об употреблении математики и ее приложении» (Beytrage zum Gebrauch der Mathematik und deren Anwendung, Berlin, 1772) дал дифференциальные формулы стереографической проекции. Для других видов отображения он лишь ясно разобрал требования общего характера. И здесь новые пути проложил Эйлер в одной работе о представлении шаровой поверхности на плоскости [Act. Ac. Petr., 1777, I (1778)]. Он поставил задачу найти координаты точки плоскости х, у как функции географических долготы t и широты и так, чтобы определяемое ими отображение удовлетворяло некоторым условиям. Затем он показал, что добиться конгруэнтности невозможно, и выдвинул требование, чтобы меридианы и параллельные круги перешли в ортогональные системы кривых, в частности, в систему линий, параллельных осям координат (что применяется в проекции Меркатора). Приведя пример отображения с сохранением площадей, он затем детальнее занялся отображением с сохранением углов. Условием ортогональности градусной сети является

pq+rs=0

где

Кроме того, должны соблюдаться условия

dx=p du+r dt cosu, dy = r du - p dt cosu.

Для интегрирования Эйлер впервые употребил здесь комплексные величины, составив выражение dx + i dy, с тем, чтобы правая часть этого выражения превратилась в произведение. Решение тогда имеет вид (D обозначает здесь символ функции):

x = D [sa (cosat — i sinat)] + D [sa (cosat + i sinat)],

iy = D [sa (cosat — i sinat)] - D [sa (cosat + i sinat)],

Государственный строй и политическая жизнь в XIв.
И.Я.Фроянов считает, что на смену федерации племенных княжений во второй половине XIв пришли города-государства с республиканской формой правления (вече). Большинство историков определяют древнерусское государство как раннефеодальную монархию во главе с великим князем киевским - защитником земли, законодателем, верховным судьей, адреса ...

Общественно-политическое развитие СССР в конце 1920—1930-х гг
В период с 1928 по 1937 гг. в СССР было окончательно сформировано тоталитарное государство. Рыночные механизмы были заложены государственным регулированием, а во всех сферах жизни общества был установлен режим тотального контроля, осуществляющегося партийно-государственным аппаратом. Наблюдались и другие признаки тоталитарной систем ...

Внешняя и внутренняя политика СССР в середине 1950-х – начале 1960-х гг
В общественно-политической сфере последние годы правления И. В. Сталина (1945–1953 гг.) были ознаменованы укреплением тотального контроля над духовной жизнью страны. В военные годы появилась новое поколение людей, способных самостоятельно мыслить. Кроме этого, многие из солдат имели возможность убедиться, насколько уровень жизни в Евр ...