Несмотря на появление этих прекрасных работ, общее понятие кривизны поверхности осталось невыясненным вплоть до К. Гаусса (1828). Эйлер даже ошибочно принял, что всякий элемент поверхности можно рассматривать как сферический («Dioptrica», I, Петербург, 1769); это же случилось раньше с Лейбницем (письмо к Иоганну Бернулли от 29 июля 1698), а позднее также с Далам-бером [«Encyclopedic methodique», Париж, 1784, статья «Кривая» («Courbe»), отдел «Кривые поверхности» (Surfaces courbes)].

Кроме упомянутых работ общего характера в рассматриваемый промежуток времени появился еще ряд работ, посвященных частным вопросам и прежде всего определению поверхностей, обладающих заданными свойствами. Так, Эйлер в Nov. Comm. Petr., 1769, I (1770) исследовал парадокс, заключающийся в том, что поверхности, площадь которых является данной функцией х, у, не должны быть конгруэнтны, как это имеет место в аналогичном случае для плоских кривых. Эйлер нашел дифференциальное уравнение с частными производными

p2+q2=f(x,y)

и проинтегрировал его в случае

f(x,y)=m2+n2.

При этом, кроме плоскости

z = a+ mx +пу,

получались все развертывающиеся поверхности, возникающие при движении плоскости, сохраняющей постоянный угол с осью Оz.

В другой статье [Nov. Act. Petr., 1788 (1790); поступила в 1776] Эйлер занялся поисками поверхностей с постоянным отрезком нормали между поверхностью и плоскостью хОу. Дифференциальное уравнение

z = a

дало здесь «искривленные цилиндры» («cylindri incurvati»), которые позднее были названы поверхностями каналов и которые возникают, когда центр некоторого данного круга движется вдоль произвольной кривой в плоскости хОу, причем плоскость круга все время остается перпендикулярной к касательной в соответствующей точке кривой. Эйлер здесь особо отмечает появление таких произвольных функций. Он тотчас же обобщил вопрос, потребовав, чтобы отрезок нормали представлял собой некоторую функцию Z аргумента z, так что в указанном выше дифференциальном уравнении вместо а появляется Z. В образовании соответствующих поверхностей при этом вместо окружности участвует некоторая другая плоская кривая. Так получаются геометрические образы, ныне называемые «резными поверхностями» («Gesimsfla-chen»). Эйлер возвращался к обоим видам поверхностей еще в Nov. Act. Petr. 1792 (1797; поступило в 1777) и 1794 (1801; поступило в 1778).

Эйлер перенес на пространство также проблему ортогональных траекторий [Mem. Ac. St-Pet., 1815/16 (1820; поступило в 1782)], причем в нескольких примерах ему удалось провести решение полностью. В Mem. Ac. Turin, (2) I (1784/85) Монж довольно общим образом рассмотрел вид дифференциального уравнения с частными производными, соответствующего классу поверхностей, конечное уравнение которых содержит п произвольных функций.

Как видно из заметки, опубликованной впервые в «Посмертных сочинениях» (Opera posthuma, I, Петербург, 1862), Эйлер уже около 1770 нашел общие уравнения, выражающие условия изгибаемости поверхностей, в опубликовании которых выход его работы опередил Гаусс (1828).

Дифференциальная геометрия получила применение и в картографии того времени. Ламберт в своих «Очерках об употреблении математики и ее приложении» (Beytrage zum Gebrauch der Mathematik und deren Anwendung, Berlin, 1772) дал дифференциальные формулы стереографической проекции. Для других видов отображения он лишь ясно разобрал требования общего характера. И здесь новые пути проложил Эйлер в одной работе о представлении шаровой поверхности на плоскости [Act. Ac. Petr., 1777, I (1778)]. Он поставил задачу найти координаты точки плоскости х, у как функции географических долготы t и широты и так, чтобы определяемое ими отображение удовлетворяло некоторым условиям. Затем он показал, что добиться конгруэнтности невозможно, и выдвинул требование, чтобы меридианы и параллельные круги перешли в ортогональные системы кривых, в частности, в систему линий, параллельных осям координат (что применяется в проекции Меркатора). Приведя пример отображения с сохранением площадей, он затем детальнее занялся отображением с сохранением углов. Условием ортогональности градусной сети является

pq+rs=0

где

Кроме того, должны соблюдаться условия

dx=p du+r dt cosu, dy = r du - p dt cosu.

Для интегрирования Эйлер впервые употребил здесь комплексные величины, составив выражение dx + i dy, с тем, чтобы правая часть этого выражения превратилась в произведение. Решение тогда имеет вид (D обозначает здесь символ функции):

x = D [sa (cosat — i sinat)] + D [sa (cosat + i sinat)],

iy = D [sa (cosat — i sinat)] - D [sa (cosat + i sinat)],

Начало российского парламентаризма. Обстановка в стране после поражения Московского восстания
Поражение московского восстания и последовавшие за ним репрессии обозначили заметный спад революционной волны. 80 % территории страны находилось фактически на военном положении. В феврале 1906 года количество бастующих рабочих было в 7 раз меньше, чем в январе, а политических стачечников в 41 раз меньше. Пошло на убыль также крестьянско ...

Что вызвало Вторую мировую войну, какой была расстановка участвующих в ней стран, какие этапы она прошла и как закончилась ?
В первой половине XX столетия человечество пережи­ло две большие войны: первая в основном развернулась в Европе, хотя ее удостоили звания мировой войны, а вто­рая была действительно мировой. Мировые войны XX столетия явились отражением коренных перемен, проис­шедших в мире, одним из последствий самого процесса развития цивилизации. Две ...

Реформы 60 -70-х годов 19 века.
19 февраля 1861г. Александр II подписал манифест "Положение о крестьянах, вышедших из крепостной зависимости". В этом документе излагались основные условия отмены крепостного права. Крестьяне получали личную свободу и право свободно распоряжаться своим имуществом. Помещики, сохраняя собственность, обязаны были предоставить в ...