Во второй половине XVIII столетия прочное основание получила также дифференциальная геометрия общих поверхностей. Уравнение касательной плоскости к поверхности дали одновременно Тенсо и Монж в статьях (Mem. div. sav., IX, 1780). Обозначая координаты точки поверхности х, у, z, а координаты произвольной точки касательной плоскости π, φ, ω, Тенсо записал ее уравнение в виде

Заключенные в скобки дифференциальные частные нужно здесь рассматривать как частные производные. Кроме того, Тенсо рассмотрел задачу об определении линии прикосновения к поверхности касательного конуса, проведенного к ней из точки (а, b, с), как это сделал и Монж. Затем он разобрал такую же задачу для параллельных касательных и вопрос об установлении уравнений соответствующих конуса и цилиндра. Впрочем, для всех этих задач он ограничивался лишь указаниями. Готовые формулы или примеры отсутствовали. У Монжа уравнение касательной плоскости получило уже вполне современный вид:

z=p’ ( x - x’) + q’ (y – y’ ) + K’.

Эйлер в этой области также открыл ряд фундаментальных теорем. В одной большой работе о кривизне поверхностей [Mem. Ac. Berlin, 1760 (1767)] он прежде всего приступил к задаче об определении радиуса кривизны сечения данной поверхности, лежащего в плоскости z = α у—β x+γ причем получил, разумеется, весьма сложное выражение. Затем он провел секущую плоскость через нормаль к поверхности и вычислил новое выражение для радиуса кривизны сечения, нисколько не более простое, чем предыдущее. Далее, он назвал «главным сечением» нормальное сечение, перпендикулярное к плоскости хОу. Для этого и еще для другого нормального сечения, перпендикулярного к первому, получались уже более простые выражения радиуса кривизны. Обозначив затем через φ угол, образуемый плоскостью произвольного нормального сечения с плоскостью главного сечения, Эйлер снова составил общее выражение радиуса кривизны. Получившуюся опять-таки очень громоздкую формулу он несколько упростил и в качестве примеров взял цилиндр

z = √(aa — yy),

конус

z= √ (ппхх —уу)

и эллипсоид

zz = aa — тхх — пуу.

Только в конце работы он привел формулу радиуса кривизны в виде

,

из рассмотрения которой извлек важные заключения. Так, например, он нашел, что три известных радиуса кривизны позволяют определить все остальные его значения в точке поверхности, что в каждой точке поверхности существует наибольший радиус кривизны f и наименьший g, плоскости которых взаимно перпендикулярны и которые в свою очередь определяют общую кривизну элемента поверхности, а именно:

.

В статье, носившей то же название, что и работа Эйлера, Ж. Менье поставил целью развить результаты последней (Mem. div. sav., 1785; поступила в 1776). Но Менье исходил из совершенно иной концепции. Отправляясь от мысли, что совпадение частных дифференциалов до второго порядка включительно обусловливает совпадение кривизн двух поверхностей, Менье заменил в точке u, v, t (причем ось t лежала на нормали к поверхности в этой точке) поверхность параболоидом

.

Менье преобразовал это уравнение к виду

и затем доказал, что каждый элемент поверхности (термин Менье) можно получить вращением малой дуги окружности вокруг оси, параллельной касательной плоскости этого элемента. Для радиуса этой окружности r и расстояния оси от точки поверхности ρ он получил выражения

и

.

переходящие одно в другое; при этом оказалось, что r и ρ совпадают с найденными Эйлером крайними значениями f и g радиусов кривизны нормальных сечений поверхности. К этому Менье присоединил теорему, носящую его имя. Именно, если R' есть радиус кривизны нормального сечения, проходящего через касательную AQ к кривой на поверхности, то R, радиус кривизны сечения, лежащего в другой плоскости, проходящей через AQ, определяется формулой R = R' sin ω, где ω — угол между обеими плоскостями. Отправляясь от этого, Менье дал полный разбор соотношений между кривизнами на элементе поверхности. Среди примеров он рассмотрел, в частности, задачу об определении поверхностей, для которых r=ρ. Интегрируя соответствующее дифференциальное уравнение, он получил, что

1=(Ax+B)2+(Ay+C)2+(Az+D)2

т. е., как и должно быть, уравнение шаровой поверхности. Вслед за тем он приступил к решению задачи об отыскании среди всех поверхностей, проходящих через контур, ограниченный данной пространственной кривой, поверхности с наименьшей площадью. С помощью своего способа образования элемента поверхности он вывел важное условие, r+r=0, а отсюда получил дифференциальное уравнение в частных производных минимальных поверхностей, найденное уже раньше другим способом Лагранжем [Misc. Taur., 1760/61 (1762)]. Частные интегралы этого уравнения дали ему в качестве примера минимальных поверхностей винтовую поверхность и катеноид. Принимая либо r, либо r равным бесконечности, Менье далее вывел дифференциальное уравнение развертывающихся поверхностей, данное уже Монжем, а в заключение доказал, что оба радиуса кривизны общих линейчатых поверхностей всегда бывают различного знака.

Страницы: 1 2 3


Достопримечательности Китая. Великая китайская стена
Строительство Великой китайской стены началось в 4-3 веках до нашей эры, когда отдельные китайские государства создавали оборонительные сооружения с целью защиты от набегов кочевых племен Центральной Азии. В сооружении стены было занято огромное число рабочих; только воинов было около 400тыс человек. После создания в Китае централизован ...

Наследие "времен очаковских"
В докладе царю новый военный министр поставил русской армии тяжелый диагноз. 800-тысячную российскую армию он назвал "силой мнимой, существующей только по штатным положениям". Злоупотребления воинских начальников приняли характер организованного грабежа казны и солдат. А полковые командиры, как отмечали современники, по коммер ...

Присоединение Средней Азии.
Этапы: 1. 1864-1868гг. Весной 1864г началось наступление русских войск на Кокандское ханство, завершившееся взятием городов Чимкента и Туркестана. В мае 1865г генерал М.Г.Чернаев без приказа из Петербурга, воспользовавшись борьбой Коканда с Бухарским эмиратом, овладел Ташкентом. В 1867г он стал центром Туркестанского генерал-губернатор ...