Историческая информация » Выдающаяся роль Леонарда Эйлера в развитии алгебры, геометрии и теории чисел » Вклад Эйлера в развитие алгебры. Алгебраические доказательства основной теоремы алгебры

Вклад Эйлера в развитие алгебры. Алгебраические доказательства основной теоремы алгебры
Страница 1

Основная теорема алгебры была высказана впервые П. Роте, А. Жираром и Р. Декартом в первой половине XVII в., правда все предложенные ими формулировки сильно отличались от современной: Жирар утверждал, что уравнение степени n должно иметь ровно п корней, действительных или воображаемых, причем смысл последнего термина не уточнялся. Декарт лишь высказал лишь предложение: алгебраическое уравнение может иметь столько корней, какова его степень.

В 40-х годах XVIII в. Маклорен и Эйлер дали основной теореме формулировку, эквивалентную современной: всякое уравнение с действительными коэффициентами можно разложить в произведение множителей 1-й и 2-й степени с действительными коэффициентами, иными словами, уравнение степени п имеет п корней, действительных и комплексных.

Первое доказательство основной теоремы предложил в 1746 г. Даламбер. Хотя ученые XVIII в. и не видели недостатков в этом доказательстве, но оно казалось им слишком аналитичным. Математики стремились обосновать основную теорему чисто алгебраически, исходя из самой теории уравнений. В настоящее время известно, что этого сделать нельзя, если не использовать в том или ином виде свойств непрерывности, однако можно свести применение этих свойств к минимуму. Первое такое «максимально алгебраическое» доказательство принадлежит Леонарду Эйлеру.

Работа Эйлера «Исследования о воображаемых корнях уравнений» («Recherches sur les racines imaginares des equations»), в которой приводится доказательство основной теоремы алгебры, была опубликована в «Мемуарах» Берлинской академии наук за 1749 г. в 1751 г. Латинский вариант этой статьи (Thoremata de radicibus aequationum imaginariis) был представлен Эйлером Берлинской академии наук еще 10 ноября 1746 г. Таким образом, Эйлер проводил свои исследования почти одновременно с Даламбером. Интересно, что при этом оба ученых исходили из совершенно различных принципов.

Доказательство Даламбера достаточно хорошо известно и не имеет точек соприкосновения с работами Эйлера. Доказательство же Эйлера в противоположность доказательству Даламбера в настоящее время почти забыто. Между тем в основе его лежит именно та идея, которая потом повторялась и варьировалась при всех так называемых алгебраических доказательствах основной теоремы. Последующие доказательства могли быть короче или длиннее, более или менее остроумными, могли быть проведены вполне строго или иметь существенные пробелы, однако основная идея оставалась неизменной.

Кроме того, в процессе доказательства Эйлер впервые применил методы исследования уравнений, которые позднее были развиты Лагранжем и стали основными в его работах, посвященных вопросу решения уравнений в радикалах, а затем вошли в качестве неотъемлемой составной части в теорию Галуа.

Современное «алгебраическое доказательство» основной теоремы можно разделить на три части:

топологическое предложение, состоящее в том, что каждое алгебраическое уравнение f(x)=0 нечетной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень;

конструкция поля разложения многочлена f(x)=0, т.е. такого поля, над которым f(x)=0, распадается на линейные множители;

редукция, сводящая нахождение корня уравнения f(x)=0 степени m=2kr, где r нечетное, к нахождению корней уравнения F(x)=0 степени 2k+1r1, где r1 нечетное.

Все эти части встречаются уже в доказательстве Эйлера: топологическое предложение он формулирует и считает очевидным. Затем он предполагает, что каждый многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде

fm(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αm),

где α1,…,αm – некоторые символы или воображаемые количества, о которых нам заранее ничего не известно, кроме того, что с ними можно проводить обычные действия арифметики по тем же правилам, что и для обычных чисел (т.е. применять к ним закон коммутативности умножения и сложения, дистрибутивность умножения по отношению к сложению и т.д.). Оперируя с этими символами α1,…,αm , Эйлер провел редукцию для уравнений степени 4, 8, 16 и наметил ее для уравнений т=2k. Последнюю редукцию безупречно строго провел Лагранж, опираясь на теоремы о симметрических и подобных функциях, в статье «О видах мнимых корней уравнений». В результате было доказано, что все αi являются либо действительными, либо комплексными числами.

Страницы: 1 2


Расширение власти Гитлера в Германии.
Прейдя к власти 30 января 1933г. А.Гитлер начал строить свое государство, которое было пропитано и проникнуто нацистской идеологией. Идеология была тем цементом, который скрепил и НСДАП, и вообще всех сторонников Гитлера. Сущность фашистской идеологии заключена в гипертрофированном инстинкте власти. Основными постулатами нацистской ид ...

Монголо-татары.
Но окончательное возмездие за распри и авантюры, как всегда, пришло из Степи. На сей раз это были не половцы. Целым поколениям понадобилось извести, измотать друг друга в отчаянных схватках и бессмысленных походах, чтобы наконец установить постоянные добрососедские связи между княжествами Руси и половецкими племенами. А некоторые князья ...

Общие поверхности
Во второй половине XVIII столетия прочное основание получила также дифференциальная геометрия общих поверхностей. Уравнение касательной плоскости к поверхности дали одновременно Тенсо и Монж в статьях (Mem. div. sav., IX, 1780). Обозначая координаты точки поверхности х, у, z, а координаты произвольной точки касательной плоскости π, ...