Основная теорема алгебры была высказана впервые П. Роте, А. Жираром и Р. Декартом в первой половине XVII в., правда все предложенные ими формулировки сильно отличались от современной: Жирар утверждал, что уравнение степени n должно иметь ровно п корней, действительных или воображаемых, причем смысл последнего термина не уточнялся. Декарт лишь высказал лишь предложение: алгебраическое уравнение может иметь столько корней, какова его степень.

В 40-х годах XVIII в. Маклорен и Эйлер дали основной теореме формулировку, эквивалентную современной: всякое уравнение с действительными коэффициентами можно разложить в произведение множителей 1-й и 2-й степени с действительными коэффициентами, иными словами, уравнение степени п имеет п корней, действительных и комплексных.

Первое доказательство основной теоремы предложил в 1746 г. Даламбер. Хотя ученые XVIII в. и не видели недостатков в этом доказательстве, но оно казалось им слишком аналитичным. Математики стремились обосновать основную теорему чисто алгебраически, исходя из самой теории уравнений. В настоящее время известно, что этого сделать нельзя, если не использовать в том или ином виде свойств непрерывности, однако можно свести применение этих свойств к минимуму. Первое такое «максимально алгебраическое» доказательство принадлежит Леонарду Эйлеру.

Работа Эйлера «Исследования о воображаемых корнях уравнений» («Recherches sur les racines imaginares des equations»), в которой приводится доказательство основной теоремы алгебры, была опубликована в «Мемуарах» Берлинской академии наук за 1749 г. в 1751 г. Латинский вариант этой статьи (Thoremata de radicibus aequationum imaginariis) был представлен Эйлером Берлинской академии наук еще 10 ноября 1746 г. Таким образом, Эйлер проводил свои исследования почти одновременно с Даламбером. Интересно, что при этом оба ученых исходили из совершенно различных принципов.

Доказательство Даламбера достаточно хорошо известно и не имеет точек соприкосновения с работами Эйлера. Доказательство же Эйлера в противоположность доказательству Даламбера в настоящее время почти забыто. Между тем в основе его лежит именно та идея, которая потом повторялась и варьировалась при всех так называемых алгебраических доказательствах основной теоремы. Последующие доказательства могли быть короче или длиннее, более или менее остроумными, могли быть проведены вполне строго или иметь существенные пробелы, однако основная идея оставалась неизменной.

Кроме того, в процессе доказательства Эйлер впервые применил методы исследования уравнений, которые позднее были развиты Лагранжем и стали основными в его работах, посвященных вопросу решения уравнений в радикалах, а затем вошли в качестве неотъемлемой составной части в теорию Галуа.

Современное «алгебраическое доказательство» основной теоремы можно разделить на три части:

топологическое предложение, состоящее в том, что каждое алгебраическое уравнение f(x)=0 нечетной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень;

конструкция поля разложения многочлена f(x)=0, т.е. такого поля, над которым f(x)=0, распадается на линейные множители;

редукция, сводящая нахождение корня уравнения f(x)=0 степени m=2kr, где r нечетное, к нахождению корней уравнения F(x)=0 степени 2k+1r1, где r1 нечетное.

Все эти части встречаются уже в доказательстве Эйлера: топологическое предложение он формулирует и считает очевидным. Затем он предполагает, что каждый многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде

fm(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αm),

где α1,…,αm – некоторые символы или воображаемые количества, о которых нам заранее ничего не известно, кроме того, что с ними можно проводить обычные действия арифметики по тем же правилам, что и для обычных чисел (т.е. применять к ним закон коммутативности умножения и сложения, дистрибутивность умножения по отношению к сложению и т.д.). Оперируя с этими символами α1,…,αm , Эйлер провел редукцию для уравнений степени 4, 8, 16 и наметил ее для уравнений т=2k. Последнюю редукцию безупречно строго провел Лагранж, опираясь на теоремы о симметрических и подобных функциях, в статье «О видах мнимых корней уравнений». В результате было доказано, что все αi являются либо действительными, либо комплексными числами.

Поход в Индию
Увлеченный идеей достичь «края Азии» и стать владыкой мира, Александр решил предпринять поход в Индию. В конце весны 327 до н.э., выступив из Бактры, он пересек Паропамис и р. Кофен (совр. Кабул). Ему добровольно подчинилось большинство царств на правом берегу Инда, в том числе сильное государство Таксила; их правители сохранили свою вл ...

Биография и наследие Градовского Александра Дмитриевича
Градовский родился в Воронежской губернии в 1841 году. Его отец, известный на юге селитровар, дал своему сыну прекрасное домашнее образование, а затем определил его во 2-ю Харьковскую гимназию. В 1858 году он поступил на юридический факультет Харьковского университета, где и окончил курс в 1862 году со степенью кандидата прав. Уже на ун ...

Выдающиеся достижения Леонарда Эйлера в области геометрии и тригонометрии
Не будет преувеличением сказать, что за последние годы в области «Эйлероведения» сделано больше, чем за весь XIX век. Геометрическим работам Эйлера отведено пять томов первой серии Opera omnia. По объему это составляет примерно 20% всех его математических работ. ...